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課程內容

《解三角形》
知識歸納
1.正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R為△ABC外接圓的半徑）。
正弦定理的三種變形；
①a=2RsinA，b=2RsinB，c=2sinC；
②sinA=a/2R，sinB =b/2R，sinC=c/2R；
③a：b：c=sinA：sinB：sinC。
2.余弦定理
a²=b²+c²-2bccos，b²=a²+c²-2accosB；
c²=a²+b²-2abcosC或cosA=（b²+c²-a²）/2bc,
cosB=（a²+c²-b²）/2ac.cosC=（a²+b²-c²）/2ab。
余弦定理的有關問題；
①勾股定理是余弦定理的特殊情況，在余弦定理表達式中分別令a，B，C為90°。上面關系式分別化為a²=b²+c²，b²=a²+c²,c²=a²+b²。
②在△ABC中，a²＜b²+c²<=>0°＜A＜90°。
a²﹥b²+c²=90°。
a²﹥b²+c²<=>90°＜A＜180°
3.三角形中的常見結論
（1）A+B+C=π
（2）在三角形中大邊對大角，大角對大邊。
（3）任意兩邊這和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。
（4）有關三角形內角函數關系式：
sin（A+B）=sinC；     cos（A+B）=-cosC；
cos（A+B）/2=sinC/2； tan（A+B）/2=catC/2。
（5）在△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC。
（6）△ABC的面積公式有：
①S=1/2a.h（h表示a邊上的離）；
②S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA=abc/4R；
③S=1/2r（a+b+c）（r為內切圓半徑）。
④S=√P（P-a）（P-b）（P-c），其中P=1/2（a+b+c）。
（7）在△ABC中，A﹥B<=>a﹥b<=>sinA﹥sinB。
誤區警示
（1）在利用正弦定理解決已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形問題時，可能出現一解、兩解或無解情況，應熟練掌握其判斷方法。
（2）在判斷三角形的形狀時，一般將已知條件中的邊角關系利用正弦定理或余弦定理轉化為角角的關系或邊邊的關系，再用三角形變換或代數式的怛等變形（如因式分解、配方等）求解，注意等式兩邊的公因式不要約掉，要移項提取因式，否則會有漏掉一種形狀的可能。
4.方位角與方向角要區分，方位角是由指北方向順時針旋轉到目標方向線的最小正角，方向角如西北、南偏西30°等。
4.一般地，由sinα﹥sinβ≠>α﹥β。
例題一、解三角形
[例1]△ABC中，α=8，B=60°，C=75°，求b。
[解析]∵B=60°,C=75°∴A=45°
由正弦定理得α/sinA=b/sinB。
∴αsinB/sinA=8×sin60°/sin45°=4√6。
[例2]在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，又c=√21，b=4，且BC邊上的離h=2√3。
（1）求角C
（2）求α
[解析]△ABC為銳角三角形，過A作AD⊥BC于D點，
sinC=（2√3）/4=√3/2，則C=60°。
又由余弦定理可知
（√21）²=4²+a2-2.4.a.1/2。
即a2-4a-5=0，∴a=5或a=-1（舍去）
因此所求角C=60°，a連長為5。
二、判斷三角形的形狀。
根據所給條件確定三角形的形狀，主要有兩條途徑；
（1）化邊為角；（2）化角為邊。
常見具體方法有：
①通過正弦定理實施邊角轉換；
②通過余弦定理實施邊角轉換；
③通過三角變換找出角之間的關系；
④通過三角函數值符號的判斷及正、余弦函數有界性的討論；另外要注意b²+c²-a²>0<=>A為銳角，b²+c²-a²=0<=>A為直角，b²+c²-a²<0<=>A為鈍角。
[例3]已知方程x2-（bcosA）x+acosB=0的兩根之積等于兩根之和，且a，b為△ABC的兩邊，A、B為兩內角，試判定這個三角形的形狀。
[解析]方法一：設方程的兩根為x₁,x₂,由韋達定理知x₁+x₂=bcosA.x₁，x₂=acosB,
由題意得bcosA=acosB,根據余弦定理得
b.（b²+c²-a²）/2bc=a.（a²+c²-b²）/2ac。
∴b²+c²-a²=a²+c²-b²,
化簡得a=b，∴△ABC為等腰三角形。
方法二：同方法一得bcosA =acosB,
由正弦定理得：2RsinBcosA=2RsinAcosB,
∴sinAcosB-cosAsinB=0，即sin（A-B）=0，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π。
∴A-B=0，即A=B，故△ABC為等腰三角形。
三、三角形的的應用
解三角形應用題常見的幾種情況：
（1）實際問題經抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。
（2）實際問題經抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個（或兩個以上）三角形，這里需要作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求出其它三角形中的解，有時需設出未知量，從幾個三角形列出方程，解方程得出所要的解。
常見問題型有：測量距離高度問題，測量角度問題，計算面積問題、航海問題、物理問題等。
例4，我艦在敵島A南偏西50°，相距12海量的B處，發現敵艦正由島沿北偏西10°的方向以10海里/小時的速度航行，問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時追上敵艦？
解：如圖，在ΔABC中由余弦定理得；
BC²=AC²+AB²-2.AB.AC.cos∠BAC
=20²+12²-2×12×20×（-1/2）=784
∴BC=28
∴我艦的追擊速度為14海里/小時。
又在ΔABC中由正弦定理得：
AC/sinB=BC/sinA    故sinB=ACsinB/BC=（5√3）/14
∴B=38°  50°-38°=12°
四、命題的知識交匯點
解三角形常和三角形恒等變換、平面向量、函數最值結合命題
[例5]在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別中a、b、c若sin2B+sinC2=sin2A+sinBsinC，且（→，AC）.（→，AB）=4，求△ABC的面積S。
[解析]由已知得b²+c²=a²+bc
∴bc=b²+c²-a²=2bccosA,∴cosA=1/2,sin=√3/2。
由（→，AC）.（→，AB）=4，得bccosA=4，∴bc=8
∴S=1/2bcsinA=2√3。