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課程內容

《空間向量運算的坐標表示》

學習目標

1.掌握空間向量運算的坐標表示方法；

2.掌握兩個向量數量積的主要用途，會用它解決立體幾何中的一些簡單問題。

空間直角坐標系

在空間選定一點O和一個單位正交基底｛(→，i)、(→，j)、(→，k)｝。以點O為原點，分別以(→，i)、(→，j)、(→，k)的正方向建立三條數軸：x軸、y軸、z軸它們都叫做坐標軸。這樣就建立了一個空間直角坐標第O——xyz

點O叫做原點，向量(→，i)、(→，j)、(→，k)都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面。
向量的直角坐標運算
設a=（a1+a2+a3），b=（b1+b2+b3）則
a+b=（a1+b1，a2+b2，a3+b3）；
a-b=（a1-b1，a2-b2，a3-b3）；
λa=（λa1，λa2，λa3）,（λ∈R）； 
a.b=（a1b1+a2b2+a3b3）；
a∥b<=>a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3（λ∈R）；
    <=>a1∣b1=a2∣b2=a1∣b2。
a⊥b <=> a1b1+a2b2+a3b3=0；
距離與夾角
1.距離公式 
（1）向量的長度（模）公式
∣(→，a)∣2=(→，a).(→，a)＝a12+a22+a32
∣(→，b)∣2=(→，ｂ).(→，ｂ)＝ｂ12+ｂ22+ｂ32
注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。
（2）空間兩個點間的距離公式　
在空間直角坐標系中，已知A（x1，y2，z1）、B（x1，y2，z1）則
dA、B=?（x2-x1）2+（y2-y1）2+（z2-z1）
求距離范例
例1求下列兩點間的距離
（1）A（1，1，0）  B（1，1，1）；
（2）C（-3，1，5），D（1，1，1）
解（1）∵A（1，1，0）， B（1，1，1）
∴∣(→，AB)∣=∣（1，1，1）-（1，1，0）∣
=∣（0，0，1）∣=?（02+02+12）=1
（2） ∵ C（-3，1，5），D（1，1，1） 
∴∣(→，)∣=∣（0，-2，3）-（-3，1，5）∣
             =∣（3，-3，-2）∣=?（32+（-3）2+（-2）2）=?22
距離與夾角
2.兩個向量夾角公式
cos<(→，a)(→，b)>=<（→，a）.（→，a）>/∣（→，a）∣.∣（→，b）∣＝｛a1ｂ1+ａ2ｂ2+ａ3ｂ3｝/?a12+a22+a22.?ｂ12+ｂ22+ｂ32；
注意：
（1）當cos＜{（→，a），（→，b）}=1時。（→，a）與（→，b）同向；
（2）當cos ＜{（→，a），（→，b）}=-1時。（→，a）與（→，b）反向；
（3）當cos ＜{（→，a），（→，b）}=0時。（→，a）⊥（→，b）。
求夾角范圍
例2 求下列兩個向量的夾角的余弦
（→，a）=（2，-3，?3），（→，b）=（1，0，0）；
解：（→，a）=（2，-3，?3），（→，b）=（1，0，0）
（→，a）.（→，ｂ）＝（2，-3，?3）.（1，0，0）＝2
∣（→，a）∣=∣（2，-3，?3）∣=?｛22+（-3）2+（?3）2｝=4
∣（→，b）∣=∣（1，0，0）∣=1
∴soc<（→，a）,（→，ｂ)>=（→，a）.（→，ｂ)>/∣（→，a）∣∣（→，ｂ)∣=2/4×1=1/2
距離與夾角應用舉例
例3 已知A（3，3，1）、B（1，0，5），求：
（1）線段AB的中點坐標和長度；
解：設M（x，y，z）是AB的中點，則（→，OM）=1/2｛（→，OA）+（→，OB｝=1/2｛（3，3，1）+（1，0，5）｝=｛2，3/2，3｝，
∴點M的坐標是｛2，3/2，3｝.dＡ1Ｂ?（1-3）2+（0-3）2+（5-1）2＝?29。
（2）到A、B兩點距離相等的點P（x，y，z）的坐標x，y，z滿足的條件。
解：點P（x，y，z）到A、B的距離相等，則?（x-3）2+（y-3）2+（z-1）2=?（x-1）2+（y-0）2+（z-5）2，
化簡整理得4x+6y+8z+7=0
即到A、B兩點距離相等的點坐標（x，y，z）滿足的條件是4x+6y+8z+7=0（AB線段的中垂面方程的系數向量（→，n)=（4，6，-8）恰好與(→，AB）=（-2，-3，4）平行）。
例4 如圖，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，B1E1=D1F1=A1B1/4，求BE1與DF1所成的角的余弦值。
解：設正方形的棱長為1，如圖建立空間直角坐標系O-xyz，則B（1，1，0）E1｛1，3/4，1｝。
(→，BE1)=｛1，3/4，1｝-（1，1，0）=｛0，-1/4，0｝，
(→，BE1)=｛1，3/4，1｝-（1，1，0）=｛0，-1/4，1｝，
(→，DF1)=｛1，3/4，1｝-（0，0，0）=｛0，1/4，1｝。
(→，BE1).(→，DF1)=0×0+（-1/4）×1/4+1×1=15/16，
∣(→，E1)∣?17/4，∣DF1∣= ? 17/4。
cos＜(→，BE1)，(→，BE1)﹥=(→，BE1).(→，DF1)/∣(→，BE1)∣.∣(→，DF1)∣＝（15/16）/?17/4×?17/4＝15/17。
例5 在正方形ABCD_A'B'C'D'中E，F分別是BD'的中點，求證：EF⊥DA'。
解：不妨設正方形的棱長為1；以D為原點O建立空間直角坐標系0XYZ
E（1，1，1/2），F（1/2，1/2，1）(→，EF)=（-1/2，-1/2，1/2）
A'（1，0，1），D（0，0，0） (→，DA')=（1，0，1）
(→，EF).(→，DA')=（-1/2）×1+（-1/2）×0+1/2×1=0
所以EF⊥DA'。
課堂小結
1.基本知識：
（1）向量的長度公式與兩點間的距離公式；
dA1B＝√（x2－ｘ1）2+（ｙ2-ｙ1）2+（ｚ2-ｚ1）2
（2）兩個向量的夾公式。
cos＜<(→，a),(→，ｂ)>=(→，a).(→，ｂ)/∣(→，a∣)∣.∣(→，ｂ)∣=（a1b1+a2b2+a3b3）/(√a12+a22+a32).(√b12+b22+b32)；
2.思想方法：用向量計算或證明幾何問題時，可以先建立直角坐標系，然后把向量、點坐標化，借助向量直角坐標系運算法則進行計算或證明。