課程內容
《定積分的概念》
一、復習引入
從曲邊梯形的面積及求變速直線運動路程的過程可以發現，它們都可以通過“四步曲”；分割、近似代替，求和、取極限得到解決，且都可以歸納為求一個特定形式和的極限：
曲邊梯形的面積
S=lim(Δx-0)（nΣi=1）F（ζt）Δx=lim(Δx-0)（nΣi=1）F（ζt）；
變速運動的路程
S=lim(Δx-0)（nΣi=1）V（ζi）Δx=lim(Δx-∞)（nΣi=1）1/nV（ζi）；
二、定積分的定義
事實上，許多問題都可以歸納結為求這種特定形式和的極限。一般地，我們有
如果函數在f（x）在區間[a，b]上連續，用分點a=x0＜x1…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b
將區間[a,b]等分成n個小區間，在每個小區間[xi-1,xi]上任意取一點ζi（i=1，2，……n）,作和式（nΣi=1）f（ζi）Δx=（nΣi=1）（b-a）/nf（ζi），當nà∞時，上述和式無限接近某個常數，這個常數叫做函數f（x）在區間[a，b]上的定積分（definite int egral）,記作
∫10f（x）dx，即∫10x2dx=1/3。
同樣地，1.5.2中汽車在0≤t≤1這段時間內經過的路程S=∫10V（t）dt=∫10（-t2+2）dt=5/3.
定積分的定義：∫10f（x）dx=lim(Δx-∞)（nΣi=1）(b-a)/nf（ζi）；
定積分的相關名稱：
∫——叫做積分號，
f（x）——叫做被積分函數，
f（x）dx——叫做被積表達式，
x——叫做積分變量，
a——叫做積分下限，
b——叫做積分下限，
[a,b]——叫做積分區間。
按定積分的定義，有
（1）由連續曲線y=f（x）（f（x）≥），直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為
S=∫10f（x）dx；
（2）設物體運動的速度V=V（t），則此物體在區間[a,b]內運動的距離S為
s=∫10V（t）dt。
說明：
（1）定積分是一個數值，
它只與被積函數及積分區間有關，而與積分變量的記法無關，即
∫baf（x）dx=-∫baf（x）dx
三、定積分的剛體意義：
當f（x）≥時，積分∫baf（x）dx在幾何上表示由y=f（x）、x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。
特別地，當a=b時，有∫baf（x）dx=0。
當f（x）≤0時，由y=f（x）、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方，積分∫baf（x）dx在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值。
S=[∫baf（x）]dx
=-∫baf（x）dx
∫baf（x）dx=-S
四、定積分的基本性質
性質1。
∫bakf（x）dx=k∫baf（x）dx
性質2。
∫ba[f（x）±g（x）]dx=∫baf（x）dx±∫ba（x）dx
性質3.定積分關于積分區間具有可加性
∫baf（x）dx=∫baf（x）dx+∫ba（x）dx
∫baf（x）dx=∫baf（x）dx+∫baf（x）dx+∫baf（x）dx
此內容正在抓緊時間編輯中，請耐心等待
楊老師
女，中教高級職稱
教學功底扎實，教學經驗豐富，對知識體系有深厚的了解。
