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課程內容

《定積分的簡單應用》
一、復習回顧
微積分基本定理
如果f（x）是區間[a,b]上的連續函數，并且f'（x）=f（x）,：則∫^b_a，f（x）dx=F （b）-F（a）或∫^b_af（x）dx=f（x）∣^b_a =F（b）-F（a）
（（F）叫做f（x）的原函數，f（x）就是F（x）的導函數）
微積分基本定理溝通了導數與定積分之間的關系。
利用微積分基本定理求定積分的關鍵是
確定f（x）的原函數F（x）
（1）平面圖形的面積
曲邊梯形的面積       
（1）A=∫^b_a f（x）dx       （2）A=∫^b_a [f₂（x）-f₁（x）]dx 
（3）A=∫^b_a f（x）dx       （4）=∫^b_a f₂（x）dx-f₁（x）dx
                               =∫^b_a [f₂（x）-f₁（x）]dx
二、定積分在幾何中的應用
例1：計算由兩條拋物線y2=x和y=x2所圍成的圖形的面積。
        y= √x
        =>x=0及x=1 
        y=x²

兩曲線的交點（1，0）（1，1）S=S_{曲邊梯形OABC}-S_{曲邊梯形OABD}
=∫¹₀ √xdx-∫^bax²dx
S=∫¹₀ (√x-x²)dx=2/3x^3/2-x³/3∣¹₀=1/3。
例2：計算由曲線y=√2x,直線y=x-4以及x軸所圍成的圖形的面積。
解：兩曲線的交點

        y=√2x
                   坐標為（8，4）   
        y=x-4
直線與x思交點為（4，0）
S=S₁+S₂=∫⁴₀ √2xdx+∫⁸₄√2xdx-∫⁸₄（x-4）dx
^{=∫4₀ √2xdx+∫8₄√2xdx-∫8₄}（x-4）dx=∫⁸₀ √2xdx-∫⁸₄（x-4）dx
=（2√2）/3 x^3/2∣⁸₀-（1/2 x²-4x）∣⁸₄=40/3
變式：計算由曲線2y=2x和直線y=x-4所圍成的圖形的面積。
解：兩曲線的交點
        y2=2x   
                 =>（2，-2）（8，4）。
       y=x-4
S=2S₁+S₂=2∫²₀（√2xdx+∫⁸₂（√2x-x+4)dx
=∫²₀2√2xdx+∫⁸₂（√2x-x+4)dx
=（4√2）/3 x^3/2∣²₀+（2√2/3 x^3/2+4x）∣⁸₂=16/3+64/3+26/3=18
三、定積分在物理的應用
1、變速直線運動的路程
我們知道，作變速直線運動的物體所經過的路程S等于其速度函數V=V（t）（v（t）≥0）在時間區間[a,b]上的定積分，即S=∫^a_bV(t)dt.
例3：一輛浩氣的速度——時間曲線如圖1.7-3所示，求汽車在這1mm行駛的路程。
解：由速度——時間曲線可知：V（t）= 
         3t, 0≤t≤10；
          30，10≤t≤40；
         -1.5t+90, 40≤t≤60。
因此汽車在這1min行駛的路程是：
S=∫¹⁰₀3tdt+∫¹⁰₄₀30tdt_+∫⁶⁰₄₀（-1.5t+90)dt
=3/2t2+30t∣¹⁰₀+（-3/4t2+90t）∣⁶⁰₄₀=1350（m）
3、變力做功
一物體在恒力F（單位：N）的作用下做直線運動，如果物體沿著力與F相同的方向移動了S（單位：m），則力F所作的功為W=Fs。
探究  如果物體在變速力F（x）的作用下做直線運動，并且物體沿著與F（x）相同方向從x=a移動到s=b（a ＜b），那么如何計算變力F（x）所作的功呢？
與求曲邊梯形的面積和，求變速運動直線運動的路程一樣，可以用“四步曲”解決變力作功問題可以得到W=∫^b_aF（x）dx。
例4：如圖1.7-4，在彈性限度內，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置Lm處，求彈簧力所作的功。
解：在彈性限度內，拉伸（或壓縮）彈簧拉伸（或壓縮）的長度x（單位：m）成正比，即F（x）=kx，其中常數k是比例系數。
由變力作功公式，得W=∫^b_akxdx=1/2kx²∣^L₀=1/2kL²（J）