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課程內容

《排列組合復習》
復習鞏固
    1.分類計數原理（加法原理）
完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m₁種不同的的方法，在第2類辦法中有m₂種不同的方法，…，在第n類辦法中有m_n種不同的方法，那么完成這件事共有：N=m₁+m₂+…+m_n種不同的方法。
    2.分步計數原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m₁種不同的方法，做第2步有m₂種不同的方法，…，做第2步有m_n種不同的方法，那么完成這件事共有：N=m₁m₂…m_n種不同的方法。
    3.分類計數原理分步計數原理區別
分類計數原理方法相互獨立，任何種方法都可以獨立完成這件事。
分步計數原理各步相互依存，每一步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件。
排列：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出ｍ個元素的一個排列。
排列數：從ｎ個不同元素中取出ｍ（m≤ｎ）個元素的所有排列的個數，叫做從ｎ個不同元素中取出ｍ個元素的排列數。
排列數公式：
A^m_n＝ｎ（ｎ-1）（n-2）…（n-ｍ+1）＝n！/（ｎ-ｍ）！
組合：從ｎ個不同元素中取出ｍ（m≤n）個元素，并成一組，叫做從ｎ個不同元素中取出ｍ個元素的一個組合。
組合數：從ｎ個不同元素中取出ｍ（m≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從ｎ個不同元素中取出ｍ個元素的組合數。
組合數公式和兩個重要性質
C^m_n＝Ａ^ｍ_ｎ/A^m_n＝n！/ｍ！（ｎ-ｍ）！＝Ｃ^ｎ-ｍ_ｎ
強調：排列——次序性；
　　　組合——無序性。
解決實際問題時首先要看是否與順序有關，從而確定是排列問題還是組合問題，必要時要利用分類和分步計數原理。
在處理問題時，一般可采用直接和間接兩種思維形式，從而尋求有效的解題途徑。
解決排列組合性問題的一般過程如下：
1.認真審題弄清要做什么？
2.怎么做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類，或是分步與分類同時進行，確定分多少步及多少類。
3.確定每一步或每一類是排列問題（有序）還是結合（無序）問題，元素總數多少及取出多少個元素。
解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略，以下講解這些常用策略。
一、特殊元素位置優先策略（優先法）
例1.，由1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復數字五位奇數。
解：由于末位和首位有特殊要求，應該優先安排，以免不合要求的元素占了這兩個位置先排末位有C¹₃   然后排首位共有C¹₄  最后排其它位置共有A³₄  由分步計數原理得C¹₃C¹₄A³₄=288
位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法，若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其它元素。若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置，若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件。
二.相鄰元素捆綁策略（捆綁法）
例2.7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排列法。
解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排。
由分步計數原理可得共有A⁵₅A²₂A²₂=480種不同的排法。
三.不相鄰問題插空策略（插空法）
例3：一個晚會的節目有4個舞蹈，2個相聲，3個獨唱，舞蹈節目不能連續出場，則節目的出場順序有多少種？
解：分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有（A55）種，第二步將4個舞蹈插入第一步排好的5個元素中間包含首尾兩個空位共有種（A46）不同的的方法。由分步計數原理，節目的不同順序共有（A⁵₅ A⁴₆）種。
元素相同問題先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端。
四.重排問題求冪策略
例4：把6名實習生分配到7個車間實習，共有多少種不同的分法
解：完成此事共分六步：把第一名實習生分配到車間有7種分法，把第二名實習生分配到車間有7種法，依此類推，由分步計原理共有7⁶種不同的排法。
允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的結束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制的安排在m個位置上的排列數為mⁿ種。
五.多排問題直排策略
例5.8人排成前后排，每排4人，其中甲乙在前排，丁在后排，共有多少排法？
解：8人排前后兩排，相當于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排。先在前4個位置排甲乙兩個特殊元素有（A²₄）種，再排后4個位置上的特殊元素有（A¹₄）種，其余的5人在5個位置上任意排列有（A⁵₅）種，則共有（A²₄A¹₄A⁵₅）種。
一般地，元素分成多排的排列問題，可歸結為一排考慮，再分段研究。