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課程內容

《圓周角定理》
我們已經掌握了圓的一些知識，知道了圓的結構特點，學習了與圓相關的一些概念，并且也研究過圓的弦、圓心角、圓周角、切角等性質，本講獎在此基礎上，進一步學習圓的知識，特別是要證明一些反映圓與直線關系的重要定理。
一、圓周的定理
我們知道，圓心角和圓周角是與圓相關的兩個重要的角，它們之間有沒有內在聯系呢？
探究：在圓O中作一個頂點為A的周角∠BAC，連續OB、OC，得圓心角∠BOC的度數，它們之間有什么關系？改變圓周角的大小，這種關系會改變嗎？
可以發現，無論圓周角的大小怎樣改變，都有∠BAC=1/2∠BOC。
一般地，我們有：
圓周角定理 圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。
已知：如圖2-1，在圓O中，弧BC所對的圓周角和圓心角分別是∠BAC、∠BOC。求證：∠BAC=1/2∠BOC。
分析:從圖2-1一時難以發現證明思路，在圓中，圓心和直徑是兩個最重要的幾何元素，利用直徑，先考察一個特殊位置，即圓周角的一邊是直徑，如圖2-1（1），圓周角∠BAC是等腰三角形AOC的底角，圓心角∠BOC是等腰三角形AOC的外角，利用“三角形外角等于不相鄰兩內角的和”以及等腰三角形的性質，可以得到結論成立。
以直徑為分界線，可以得到另外兩類圓周角及相關的圓心角，如圖2-2（2）、（3）所示，只要能鈄它們化歸為（1）的情形，問題就解決。
證明：分三種情況討論
（1）如圖2-2（1），圓心O在∠BAC的一條邊上，因為OA=OC。
所以∠C=∠BAC。
因為∠BOC=∠BAC+∠C，
所以∠BAC=1/2∠BOC。
（2）如圖2-2（1），圓心O在BAC的內部。
作直徑AD，利用（1）的結果，有∠BAD=1/2∠BOD，
∠DAC=1/2∠BOC。
所以∠BAD+∠DAC=1/2（∠BOD+DOC）
即∠BAC=1/2∠BOC
（3）如圖2-3（3），圓心O在∠BAC的外部，作直徑AD，利用（1）的結果，有∠BAD=1/2∠BOD，∠DAC=1/2∠DOC。
則∠DAC-∠DAB=1/2（∠DOC-∠DOB），
即∠BAC=1/2∠BOC。
我們知道，一個周角是360°，把圓周角分成360份，每一份叫做1°的弧，由此，n°的圓心角所對的弧是n°的弧；反之，n°的弧所對的圓心角的度數n°，從而有：
圓心角定理：圓心角的度數等于它所對弧的度數。
在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，因此由圓周角定理可以直接得到：
推論1 同弧或等弧所對的圓心角相等；同圓等等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。
推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角氣結的弦是直徑。
例1 如圖2-3，AD是△ABC的高，AF是△ABCr外接圓直徑，求證：AB.AC=AE.AD
證明：連接BE
因為∠ADC=∠ABE=90°，
∠C=∠E，
所以△ADE∽△ABE，
則AC/AE=AD/AB，即AB.AC=AE.AD。
例2 如圖2-4，AB與CD將于圓內一點P，求證：弧AD的度數與弧ACr度數和的一半等于∠APD的度數。
分析，由于∠APD即不是圓心角，也不是圓周角，為此我們需要構造一個與它相等的圓心角或圓周角，以便利用定理。
證明：如圖2-4，過點C用CE∥AB交圓于E，則有∠APD=∠C。因為弧AE=弧BC，（為什么？）
弧DAE=弧DA+弧AE=弧AD+弧DC。
又因為∠C的度數等于弧DAE的度數的一半。
∠APD的度數等于弧AD與弧BC的度數和的一半。