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課程內容

《與圓有關的比例線段》
前面我們討論了與圓有關的角之間的關系，自然的我們可以討論與圓有關的線段的關系及其度量問題下面沿用從特殊到一般的思路，討論與圓的相交弦有關的問題。
探究  如圖2-20，AB是圓O的直徑CD⊥AB，AB與CD相交于P，線段PA、PB、PC、PD之間有什么關系？
連接AD、BC，則由圓周角定理的推論可得：∠A=∠C。故Rt△APD～Rt△CPB。則PA/PD=PC/PB。則PA.PB=PC.PD。
以上通過考察相交弦交角變化中有關線段的關系，得出相交弦定理，下面從新的角度考察與圓有關的比例線段。
探究 使圓的兩條相交弦的交點P從圓內運動到圓上（圖2-23）。再到圓外（2-24）結論（1）是否還能成立？
當點P在圓上時，PA=PB=0，所以PA.PB=PC.PD仍成立，當點P在圓外時，在圖2-24中，連接AD、BC，容易證明△PAD～△PCB，所以PA/PC=PD/PB，即PA.PB=PC.PD。（1）
根據上述探究和論證，我們有割線定理 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。
下面繼續用運動變化思想探究
探究 在圖2-24中，使割線PB繞P點運動到切線位置（圖2-25），是否還有PA.PB=PC.PD？
連接AC、AD，同樣可以證明△PAC～△PDA（請同學們自己證明），因而（1）式仍然成立。在這種情況下，A、B兩點重合，PA.PB=PC.PD，變形為：PA²=PC.PD。（2）
由上述探究和論證，我們有
切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
設點P為圓外一點，過P的圓的切線的切點為A，稱PA為P點到圓的切線長。
結合切線的性質定理，我們有
切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
證明：如圖2-27，連接OA、OC，則OA=OC，OP=OP，所以Rt△OAP≌Rt△OCP。故PA=PC，∠APO=∠CPO。
思考 由切割線定理能證明切線長定理嗎？在圖2-26中，由P向圓任作一條割線試一試，另外你能將切線長定理推廣到空間的情形嗎？
例2 如圖2-29，E是圓內兩弦AB和CD的交點，直線EF∥CB，交AD的延長線于F、FG切圓于G，求證：（1）△DFE～△EFA；（2）EF=FG。
證明（1）因為EF∥CB，
所以∠DEF=∠DCB。
因為∠DCB和∠DAB都是弧DB上的圓周角，
所以∠DAB=∠DCB=DEF。
又∠DFE=∠EFA，故△DFE～△EFA。
（2）由（1）知△DFE～△EFA，
所以EF/AF=FD/EF，即
EF2=FA.FD。
因為FG是圓的切線，
所以FG²=FA.FD，
故FG2=EF2，即FG=EF。