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課程內容

《橢圓及其標準方程（一）》
教學目的：
1、理解橢圓的定義、明確焦點、焦距的概念。
2、熟練掌握橢圓的標準方程，會根據所給的條件畫出橢圓的草圖并確定橢圓的標準方程。
3、能由橢圓定義推到橢圓的方程。
4、啟發學生能夠發現問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創造地解決問題；培養學生抽象概括能力和邏輯思維能力。
教學重點：橢圓的定義和標準方程
教學難點：橢圓標準方程的推導
一、情景引入
問題：2008年9月28日上午9時，“神舟七號”載人飛船順利升空，實現多人航天飛行，標志著我國航天事業又上了一個新臺階，請問：“神舟七號”飛船的運行軌道是什么？
生活中還有哪些東西像橢圓呢？
二、實驗操作
1、玻璃杯裝半杯水，適度傾斜，觀察水面是個什么形狀？
2、手工操作演示橢圓的形成：取一條定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的兩點，當繩長大于兩點間的距離時，用鉛筆把繩子拉近，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓。
橢圓的形成：


取一條長尾2a的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F₁和F₂兩點，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動。
橢圓的定義：
平面內與兩個定點F₁、F₂的距離的和等于常數（大于|F₁F₂|）的點的軌跡叫做橢圓。
這兩個定點F_1、F₂叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距（一般用2c表示）。
|MF₁|+|MF₂|=2a
三、定義形成
平面內與兩個定點F₁、F₂的距離的和等于常數（大于|F₁F₂|）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。
橢圓的定義的再認識
問題：假設與兩定點的距離之和為d，為什么要滿足d>2c呢？
（1）當d=2c時，軌跡是什么？
（2）當d<2c時，軌跡又是什么？
結論：當d>|F₁F₂|時，是橢圓；
當d=F₁F₂時，是線段；
當d1F₂，軌跡不存在；
那么，如何求橢圓的方程呢？
如圖所示：F₁、F₂為兩定點，且|F₁F₂|=2c，求平面內到兩定點F₁、F₂距離之和為定值2a(2a>2c)的動點M的軌跡方程。

解：以F₁、F₂所在直線為X軸，F₁、F₂的重點為原點建立平面直角坐標系，則焦點F₁、F₂的坐標分別為（-c）、(c,0)。
設M（x,y）為所求軌跡上的任意一點，則|MF₁|+|MF₂|=2a
即：√（（x+c）²+y²）+√（（x-c）²+y²）=2a
所以：√（（x+c）²+y²）=2a-√（（x-c）²+y²）
兩邊平方得：：（（x+c）²+y²）=4a²-4a√（（x-c）²+y²）+(x-c)²+y²
即：a²-cx=a√((x-c)²+y²)
兩邊平方得：a⁴-2a²cx+c²x²=a²x²-2a²cx+a²c²+a²y²
即：(a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²)
因為2a>2c，即a>c，所以a²-c²>0，令a²-c²=b²，其中b>0，代入上式可得：
b²x²+a²y²=a²b²
兩邊同時除以a²b²得：
x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)

橢圓的標準方程的再認識
（1）橢圓的標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1；
（2）橢圓的標準方程中三個參數a、b、c滿足a²=b²+c²。
（3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數a、b、c的值。
（4）橢圓的標準方程中，x²與y²的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。
例題精析
例1、填空：
（1）已知橢圓的方程為x²/25+y²/16=1，則a=5,b=4,c=3,焦點坐標為（3,0），（-3,0）焦距等于6。若CD為過焦點F₁的弦，則F₂CD的長為20

（1）已知橢圓的方程為x²/4+y²/5=1，則a=√5,b=2,c=1,焦點坐標為（1,0），（-1,0）焦距等于2。曲線上點P到左焦點F₁的距離為3，則點P到另一個焦點F₂的距離等于2√5-3，則F₁PF₂的周長為2√5+2。
例2、求滿足下列條件的橢圓的標準方程：
（1）滿足a=4，b=1，焦點在X軸上的橢圓的標準方程為x²/16+y²=1
（2）滿足a=4，c=√15，焦點在Y軸上的橢圓的標準方程為y²/16+x²=1
例4、化簡
√（x²+(y-3)²）+√(x²+(y-3)²)=10
分析：點M（x,y）到兩定點（0，-3）（0,3）的距離之和為定值10
|MF₁|+|MF₂|=10
答案x²/25+y²/16=1
例5：動點P到兩定點F₁（-4,0），F₂（4,0）的距離之和為8，則動點P的軌跡為（B）
 A、橢圓
B、線段F₁F₂
C、直線F₁F₂
D、不能確定
例6：求滿足下列條件的橢圓的標準方程：
兩焦點的坐標分別是（-4,0）（4,0）橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10
解：因為焦點坐標在X軸上，所以標準方程設為：
x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
∵2a=10,2c=8
∴a=5,c=4
∴b²=a²-c²=5²-4²=9
所以橢圓的標準方程為：
x²/25+y²/9=1
小結：
1、橢圓的定義及焦點、焦距的概念
2、橢圓的標準方程
x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
y²/a²+x²/b²=1(a>b>0)
3、標準方程的簡單應用