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課程內(nèi)容

《平行線等分線段成比例定理》
我們看到，平行線等分線定理以“相鄰兩條平行線間的距離相等”為條件如果一組平行線中相鄰兩條平行線間距離不相等，又可以得出怎樣的結(jié)論呢？
觀察，如圖1-8，兩條直線被一組平行線所截，當(dāng)平行線間的距離不相等時(shí)，所截的線段AB與BC與EF之間有什么關(guān)系？
容易發(fā)現(xiàn)，AB≠BC，DE≠EF
由以往學(xué)習(xí)平面幾何的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)幾何圖形平全等時(shí)，可以考察它們是否相似，而相似是通過“對(duì)應(yīng)邊面比例，對(duì)應(yīng)角相等”來表現(xiàn)的由此得到啟發(fā)，我們可以研究被一組平行線截得的線段是否有“對(duì)應(yīng)邊顧比例”？
探究，在圖1-8中AB︰BC=DE︰EF相等嗎？取AB︰BC=2︰3的特殊情形進(jìn)行探討。

我們可以將上述問題化歸為平行線間距離相等的情形。
如圖1-9，如果AB︰BC=2︰3，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P1，線段BC的三分點(diǎn)為P2、P3這里有AP1=P2B=BP2=P2P3=P3C
分別過P1、P2、P3作直線，a1、a2、a3平行于L與L'的交點(diǎn)分別為Q1、Q2、Q3由平行線等分線段定理可知；
DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F，因?yàn)?br> DE=DQ1+Q1E=2DQ1，EF=EQ2+Q2Q3+Q3F=3DQ1
所以DE︰EF=2DQ1︰3DQ1，因此AB︰BC=DE︰EF (1)
當(dāng)AB/BC為有理數(shù)時(shí)，即AB、BC=m/n（m、n是互岳的正整數(shù)），AB是長(zhǎng)度單位的m倍，BC是長(zhǎng)度單位的n倍，依照上面的方法，可以證明（1）成立。更一般地，可以證明，當(dāng)L∥L2∥L3，且AB/BC是實(shí)數(shù)時(shí)，（1）式也成立，由（1）式和比例性質(zhì)，可以得到AB/BC =DE/EF,AB/AC=DE/DF,BC/AC=EF/DF
一般地，我們有
平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線所截的對(duì)應(yīng)線段成比例。
觀察圖1-10和1-11，它們是圖1-8的特殊情形，即L與L'的交點(diǎn)都在L上，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得AD/AB=AE/AC。
如果把圖1-10和圖1-11中的直線L2看成是平行于△ABC的BC邊的直線，那么可以得到；

推論：平行三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例
例1 如圖1-12，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE=4，EC=2，BC=8，求BF和CF的長(zhǎng)
解 因?yàn)镈E∥BC，所以
DA/AB=AE/AC=4/6=2/3  （1）
因?yàn)镈F∥AC，所以AD/AB=CF/CB（2）
由（1）（2）式得2/3=CF/8,即CF=16/3，所以BF=8-6-16/=8/3
例2 如圖1-13，△ABC中DE∥BC，EF∥CD，求證：AD是AB和AF的比例中項(xiàng)
證明 在△ABC中，因?yàn)镈E∥BC，
所以AB/AD=AC/AE(1)
在△ADC中，因?yàn)镋F∥CD，所以AD/AF=AC/AE（2）
由（1）（2）式得AB/AD=AD/AF，所以AD=AB.AF
即AD是AB和AF的比例中項(xiàng)。
例3 用平行于三角形且和其他兩邊相交的直線截三角形，所截得的三角形的三邊與原角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例。
已知，如圖1-14，DE∥BC，DE分別交AB、AC于D、E，求證：AD/AB=AE/AC=DE/BC。
分析，由平行線分線段成比例定理的推理可以得到AD/AB=AE/AC，為了用平行線分線段成比例定理證明AE/AC=DE/BC，須要構(gòu)造一組平行線，使AE、AC、DE、BC成為由平行線截得的線段只要過點(diǎn)E作EF、AB交BC于點(diǎn)F，就可以達(dá)到上述目的。
證明過點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F，
因?yàn)镈E∥BC，EF∥AB，所以AD/AB=AE/AC，BF/BC=AE/AC，
且四邊形DEFB為平行四邊形，故DE=BF。
則AE/AC=DE/BC，因?yàn)锳D/AC=AE/AC=DE/BC。
“平行線分線段成比例定理”是平面幾何中的定理，一個(gè)自然的想去是：這個(gè)定理在空間中也成立嗎？請(qǐng)你完成這個(gè)探究。
實(shí)際上，命題的推廣可以有不同的方向，例如，在“平行線玢線段成比例定理”中，如果將平行線改為平行平面也可以探究相應(yīng)命題是否成立，請(qǐng)你完成下列探究。