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《圓的切線性質與判定定理》
我們知道，直線與圓有相交、相切和相離三種位置關系，這是從直線與圓的公共點個數刻畫的，直線與圓有兩個公共點，稱直線與圓相交；直線與圓只有一個公共點，稱直線與圓相切；直線與圓沒有公共點，稱直線與圓相離。
本節專門討論直線與圓相切的情形。我們先看當直線與圓相切時有什么性質。
如圖2-11，直線L是圓O的切線，A為切點的觀察、測量圖形可發現L⊥OA，那么L與半徑OA是否一定垂直呢？
假設L與OA不垂直，那么過點O可作OM⊥L，垂足為M，根據“垂線段最短”性質，可得OA﹥OM，這就是說圓心到直線L的距離小于圓的半徑，于是L就應該與圓O相交，這與L是圓O的切線相矛盾，因此，L與OA一定垂直。
切線的性質定理 圓的切線垂直于經過切點的半徑。
因為經過一點只有一條直線與已知直線垂直，所以經過圓心垂直于切線的直線一定過切點；反之，過切點且垂直于切線的直線一定經過圓心，由此得到：
推理1 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點。
推理2 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。
下面通過考察性質定理的逆命題來得到判定定理。
如圖2-11，點A是圓O與直線L的公共點且L⊥OA，在直線L上任取異于點A的點，都有OB﹥OA，這是因為△OBA是直角三角形，而OB是RT△OBA的斜邊，因此，點B在圓外，由點B的任意性，知圓與直線只有一個公共點，因此L的切線，由此可得
切線的判定定理 經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓切線。
例1 如圖2-12，AB是圓O的直徑，圓過BC中點D，DE⊥AC。求證：DE是圓O的切線。
證明 連接OD。因為BD=CD，OA=OB，所以OD是△ABC的中位線，則OD∥AC，又因為∠DEC=90°，
所以∠ODE=90°，又因為D在圓周上，所以DE是圓O的切線。
例2 如圖2-13，AB為圓O的直徑，C為圓O上的一點，AD和過C點的切線互相垂直垂足為D。求證：AC平分∠DAB。
證明 連結OC，因為CD是圓的切線，所以OC⊥CD。
又因為AD⊥CD，所以OC∥AD，由此得∠ACO=∠CAD。
因為OC=OA，所以∠CAO=∠ACO。
則∠CAD=∠CAO，故AC平分∠DAB。
思考 圓的切線性質定理用它的兩個推論，涉及一條直線的三條性質；（1）經過圓心；（2）經過切點；（3）垂直于切線，你能把圓的切線性質及它的兩個推論概括在同一個定理中嗎？
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榮老師
男，中教高級職稱
對高中數學的基本概念和整體知識結構有清晰地把握，從高考的高度分析講解各大知識板塊。
