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九年級數學上冊第1章《圖形的相似》1.1 相似多邊形
第一章 圖形的相似
1.1 相似多邊形
交流與發現
五星紅旗是中華人民共和國的國旗，國旗上的左上角有五顆五角星（圖1-1），這五顆五角星的形狀相同嗎？
大小相等嗎？
在現實生活中，你還見過形狀相同但大小未必相等的圖形嗎？
形狀相同的平面圖形叫做相似形（similar figures）
全等行與相似性有什么關系？
觀察與思考
小瑩在電腦上任意畫出一個四邊形ABCD（圖1-2①），并將它按原大復制下來，得到四邊形A′B′C′D′（圖-1-2
②）然后將四邊形ABCD各角的大小保持不變，將它的各邊同時放大5/4倍，得到四邊形A"B"C"D"（圖1-2③）
，再將四邊形ABCD各角的大小保持不變，將它的各邊同時縮小2/3，得到四邊形A"′B"′C"′D"′（圖1-2④）把
這四個四邊形打印在同一張紙上（圖1-2）。
（1）觀察得到的四個四邊形，你發現它們的形狀和大小有什么特征？它們是相似形嗎？
（2）觀察1-2①和③，在四邊形ABCD與四邊形A"B"C"D"中，∠A與∠A"，∠B與∠B"，∠C與∠C"，∠D與∠D"
之間分別具有怎樣的數量關系？相應的各邊的比AB/A"B",BC/B"C",CD/C"D",DA/D"A"之間有怎樣的關系？
（3）觀察圖1-2①和④，四邊形ABCD與四邊形A"′B"′C"′D"′相應的各角及相應的各邊具有怎樣的數量關系？
圖③和圖④呢？
由上面的探究過程，我們發現：把四邊形ABCD復制，放大或縮小后，所得到的四邊形與原來的四邊形相似，
它們的各個角對應相等，各邊對應成比例。反過來，如果一個四邊形與四邊形ABCD的各角對應相等，并且各
邊對應成比例，那么這個四邊形與四邊形ABCD形狀相同，也就是說，這個四邊形與四邊形ABCD相似，由此，
可以給出相似多邊形的定義：
兩個邊數相同的多邊形，如果一個多邊形的各個角與另一個多邊形的各個角對應相等，各邊對應成比例，那
么這兩個多邊形叫做相似多邊形（similar polygons）。
如圖1-2，四邊形ABCD與四邊形A"B"C"D"相似，記作四邊形ABCD∽四邊形A"B"C"D"，符號“∽”讀作“相似于
”，與三角形全等的表示方法一樣，在記兩個多邊形相似時，要把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。
相似多邊形的對應邊的比叫做相似比（similarity ratio）。例如，在圖1-2中，四邊形A"B"C"D"與四邊形
ABCD的形似比為5/4，或說成5:4，四邊形A"′B"′C"′D"′與四邊形ABCD的相似比為2/3，當兩個多邊形相等時，
其相似比為1；反之，如果兩個相似多邊形的形似比為1，那么這兩個多邊形全等。
例1
如圖1-3，已知四邊形AEFD∽四邊形EBCF。
（1）寫出它們相等的角及對應邊的比例式；
（2）若AD=3，EF=4，求BC的長。
解：（1）在四邊形AEFD和四邊形EBCF中，
∵四邊形AEFD∽四邊形EBCF，
∴∠A=∠BEF,∠AEF=∠B,∠DFE=∠C,∠D=∠EFC.并且AE/EB=EF/BC=DF/FC=AD/EF.
（2）∵AD=3，EF=4，代入EF/BC=AD/EF得，4/BC=3/4.
解得BC=16/3.
挑戰自我
由兩個多邊形的各個角分別相等，能判斷它們相似嗎？由兩個多邊形的邊對應成比例，能判斷它們相似嗎？
如果不能，請分別舉出反例；如果能，說明你的理由。
練習
1.三角形與四邊形能相似嗎？等邊三角形與直角三角形能相似嗎？為什么？
2.如圖，△ABC∽△DFE,點A與D，點B與點F是對應頂點，請寫出它們的對應角、對應邊以及對應邊之間的比例式。
習題1.1
復習與鞏固
1.如果五邊形ABCDE∽五邊形A′B′C′D′E′，且五邊形ABCDE與A′B′C′D′E′的相似比為k1，五邊形A′B′C′D′E′與
ABCDE的相似比為k2，那么k1與k2滿足怎樣的數量關系？
2.如圖，已知△DEA∽△BCA,
（1）BC//DE嗎？為什么？
（2）如果BC=3.6，ED=2.4，AE=5，求AC的長。
3.如圖，四邊形ABCD∽四邊形PQRS,BC=8，QR=10,PS=6，∠B=64°，求；
（1）∠Q的度數；
（2）AD的長；
（3）求四邊形ABCD與四邊形PQRS的相似比。
拓展與延伸
4.如圖，△BEA∽△SAD，寫出圖中所有相等的角和成比例線段的比例式。
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崔老師
男，中教高級職稱
市優秀教師、骨干教師，數學學科帶頭人。在教學中注重學生自學能力和數學思維能力的培養，教學成績突出。
