課程內容
九年級數學上冊第1章《圖形的相似》1.3 相似三角形的性質
第一章 圖形的相似
1.3 相似三角形的性質
交流與發現
如圖1-23，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，AD與A′D′分布是對應邊BC與B′C′上的高。
（1）除△ABC∽△A′B′C′以外，圖中還有幾對相似三角形？為什么？
（2）AD與A′D′的比與相似比k有什么關系？
（3）在△ABC∽△A′B′C′中，分別作出∠A與∠A′的平分線以及BC與B′C′上的中線，探索對應的角平分線
的比，對應邊上中線的比分別與相似比k之間的關系，說明你的理由，與同學交流。
（4）△ABC與△A′B′C′的面積的比S△ABC:S△A′B′C′與相似比k有怎樣的關系？
（5）歸納（2）（3）（4）的結論，能得到相似三角形的什么性質？
相似三角形對應線段的比等于相似比；面積的比等于相似比的平方。
例1
如圖1-24，在△ABC中，DE//BC,AD:DB=3：1，△ABC的面積為48，求△ADE的面積。
解 在△ADE和△ABC中，∠A=∠A，由DE//BC，可知∠ADE=∠B，
根據判定定理1，△ADE∽△ABC.
于是S△ADE/S△ABC=（AD/AB）2.
由AD:DB=3：1，得AD=3DB,
所以AD/AB=3DB/ADB=3/4.
因為S△ABC=48，所以S△ADE/48=（3/4）2.
解得
S△ADE=9/16×48=27.
例2
如圖1-25，有一塊銳角三角形余料ABC,它的BC=12cm，高AD=8cm。
現要用它裁出一個正方形工件，使正方形的一邊在BC上，其余的兩個頂點分別在AB，AC上，求裁出的正方
形工件的邊長。
解 在△ABC中，設裁出的正方形為PQMN.
∵PN//BC ∴∠APN=∠B.
∵∠A=∠A，∴△APN∽△ABC.
∴PN/BC=AE/AD（相似三角形的性質定理）.
設PN=x，則AE=8-x.
∵BC=12，AD=8，
∴x/12=8-x/8.
解得x=24/5.
挑戰自我
（1）在例2中，如果并排放置的由2個全等的小正方形組成的矩形內接于△ABC（圖1-26），那么小正方形
的邊長為多少？并排放置3個全等的小正方形呢？
1.24/5
2.24/7
3.24/9
...
n. 24/2n+3
練習
1.兩個相似三角形對應角平分線的比是1:4，它們對應高的比是______,面積比是______。
2.兩個相似三角形對應邊的比是2:3，它們面積的和為78cm2，求較大的三角形的面積。
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崔老師
男，中教高級職稱
市優秀教師、骨干教師，數學學科帶頭人。在教學中注重學生自學能力和數學思維能力的培養，教學成績突出。
