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課程內(nèi)容

《基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則》
一、復(fù)習(xí)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
公式1、若f（x）=c，則f′(x)=0；
公式2、若f（x）=xⁿ，則f′(x)=nx^n-1；
公式3、若f（x）=sinx，則f′(x)=cosx；
公式4、若f（x）=cosx，則f′(x)=sins；
公式5、若f（x）=a^x，則f′(x)=a^xIn a(a﹥0)；
公式6、若f（x）=e^x，則f′(x)=e^x
公式7、若f（x）=log_a，則f′(x)=1/xIna(a﹥0，且a≠0)；
公式8、若f（x）=Inx，則f′(x)=1/x；
導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
法則1：兩個(gè)函數(shù)的和（差），等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（差），即：
｛f（x）±g（x）｝′=f′（x）±g′（x）
法則2：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：
｛f（x）·g（x）｝′=f′（x）g（x）+f(x)g′(x)
特別的:{kf(x)}′=kf′(x)
法則3:兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù),減去第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再除以第二個(gè)函數(shù)的平方,即:
{f(x)/g(x)}′=f′(x)g(x)-f(x)g′(x)/{g(x)}²(g(x)≠0)
二、應(yīng)用
例1：根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分工和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，求函數(shù)y=x³-2+3的導(dǎo)數(shù)
解：因?yàn)閥′=（x³-2x+3）′=（x³）-(2x)′+（3）′=3x²-2
例2：假設(shè)某國(guó)家在20年期間的年均通貨膨脹率5%，物價(jià)P（單位：元）與時(shí)間t（單位：年）有如下函數(shù)關(guān)系
  P（t）=P_o(1+5%)′
其中P_o為t=0時(shí)的物價(jià)，假定某種商品的P_o=1，那么在第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）？
解：根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，有
  P′（t）=1.05^tIn1.05
  ∴P′（10）=1.05¹⁰In1.05≈0.08（元、年）
因此，在第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格約以0.08元、年的速度上漲。
例3：日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過(guò)凈化的。隨著水純凈的提高，所需凈化費(fèi)用不斷的增加，已知將水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用（單位：元）為c（x）=5284/(100-x) (80＜x＜100)
求凈化到下列純凈度時(shí)，所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)京華率：
（1）90%   （2）98%
解：凈化費(fèi)用的瞬間變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
c′（x）=（5284/100-x）′={5284′×（100-x）-5284×（100-x）′}/（100-x）²
=｛0×（100-x）-5284×（-1）｝/（100-x）²
=5284/(100-x)²
（1）因?yàn)閏′（90）=5284/（100-90）²=52.84
所以，純凈度為90%時(shí)，費(fèi)用的瞬間變化率是52.84元/噸。
（2）因?yàn)閏′（98）=5284/（100-98）²=1321
所以，純凈度為98%時(shí)，費(fèi)用的瞬間變化率是1321元/噸。
三、如何求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？
1、y=In（2x+1）
2、y=（cos2x+1）²
一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f（u）和u=g（x），如果通過(guò)變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f（u）和u=g（x）的復(fù)合函數(shù)，記作y=f（g（x））。
復(fù)合函數(shù)y=f（g（x））的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)
y=f（u），u=g（x）的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y_x′=y_u′·u_x′
例4：求下列函數(shù)的層數(shù)
（1）y=（2x+3）²
解：（1）函數(shù)y=（2x+3）²可以看作函數(shù)y=u²和u=2x+3的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有
y_x′=y_u′·u_x′
=（u²）′·（2x+3）′
=4u
=8x+12
（2）y=e^-0.05x+1
解：（1）函數(shù)y=e^-0.05x+1可以看作函數(shù)y=e^u和u=-0.05x+1的復(fù)合函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有
y_x′=y_u′·u_x′
=（e^u）′·（-0.05x+1）′
=-0.05e^u
=0.05e^-0.05x+1
（3）y=sin（πx+φ）（其中，φ均為常數(shù)）
解：（1）函數(shù)y=sin（πx+φ）可以看作函數(shù)y=sinu和u=πx+φ的復(fù)合函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有：
yx′=yu′·ux′
=（sinu）′·（πx+φ）′
=πcosu
=πcos（πx+φ）
總結(jié)，求函數(shù)的基本步驟：
1、分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)和特征；
2、選擇恰當(dāng)?shù)那髮?dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式；
3、整理得到結(jié)果
注意：
對(duì)于求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要正確分析及還原字母名稱(chēng)。