課程內容
《函數的極值與導數》
（一）復習
一般地，函數y=f（x）在某個區間（a，b）內
1）如果恒有f′（x）﹥0，那么y=f（x）在這個區間（a，b）內單調遞增；
2）如果恒有f′（x）＜0，那么y=f（x）在這個區間（a，b）內單調遞減；
f′（x）﹥0 增函數
f′（x）＜0 減函數
判定函數單調性的常用方法：
（1）定義法
（2）導數法
（二）探究、
如圖，函數y=f（x）在a、b、c、d、e、f、g、h、i等點的函數值與這些點附近的函數值有什么關系，y=f（x）在這些點的導數值是多少？在這些點附近，y=f（x）的導數的符號有什么規律？
（三）：講授新課 a）函數極值的定義
1）函數y=f（x）在x=a處的函數值f（a）比它在點x=a附近其它各點的函數都小，我們就說f（a）是函數的一個極小值，點a叫做極小值點。
2）函數y=f（x）在x=b處的函數值f（b）比它在點x=b附近其它各點的函數值都大，我們就說f（b）是函數的一個極大值，點b叫做極大值點。
3）極大值點，極小值點統稱為極值點，
4）極大值與極小值統稱為極值。
注：函數的極大值、極小值未必是函數的最大值、最小值。
即：極大值不一定等于最大值；極小值不一定等于最小值。
b)求函數的極值
1）如果b是f′（x）=0的一個根，并且在b的左側附近f′（x）﹥0，在右側f′（x）＜0，那么f（b）是函數f（x)的一個極大值。
2）如果a是f′（x）=0的一個根，并且在a的左側附近f′（x）＜0,在a右側附近f′（x）﹥0，那么f（a）是函數f（x）的一個極小值。
C）注意：
（1）函數的極值是就函數在某一點附近的小區間而言的，在函數的整個定義區間內可以能有多個極大值或極小值。
（2）極大值不一定比極小值大，
（3）要區分極值與極值點；
（4）導數等于零的點不一定是極值點。
例：y=x3
d）求函數極值的一般步驟：
（1）確定函數的定義域
（2）求方程f′（x）=0的根
（3）用方程f′（x）=0的根，順次將函數的定義域分成若干個開區間，并列成表格
（4）由f′（x）在方程f′(x)=0的根左右的符號，來判斷f（x）在這個根處取極值的情況。
口訣：左負右正為極小，左正右負為極大。
e）例題講解
例1：下圖是導函數y=f′(x)的圖象，在標記的點中，在哪一點處
（1）導函數y=f′(x)有極大值？
x=x2
（2）導函數y=f′(x)有極小值？
x=x1或x=x4
（3）函數y=f(x)有極大值？
x=x2
（4）函數y=f(x)有極小值？
x=x5
例2：求函數f（x）1/3x3-4x+4的極值
解：
因為f（x）=1/3x3-4x+4，所以f′（x）=x2-4
令f′（x）=0，解得x=2，或x=-2。
當f′（x）﹥0，即x﹥2，或x＜-2；
當f′（x）＜0，即-2＜x＜2。
當x變化時，f（x）的變化情況如下表：
| x | （-∞、-2） | -2 | （-2、2） | 2 | （2、+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | 單調遞增 | 28/3 | 單調遞減 | -4/3 | 單調遞增 |
所以，當x=-2時，f（x）有極大值28/3；
當x=2時，f（x）有極小值-4/3。
例3：求下列函數的極值：
（1）f（x）=6x2-x-2； （2）f（x）=x3-27x，
解：
（1）f′（x）=12x-1，令f′（x）=0，解得x=1/12，列表：
| x | （ -∞，1/12） | 1/12 | （1/12，+∞） |
| f′（x） | - | 0 | + |
| f（x） | 單調遞減 | 單調遞增 |
所以，當x=1/12時，f（x）有極小值f（1/12）=-49/24。
解：
（2）令f′（x）=3x2-27=0，解得x1=3，x2=-3列表：
| x | （ -∞，-3） | -3 | （-3，3） | 3 | （3，+∞） |
| f′（x） | 0 | 0 | |||
| f（x） |
（四）：課堂練習
求下列函數的極值
（1）f（x）=6+12x-x3； （2）f（x）=3x-x3。
（1）當x=-2時，f（x）有極小值-10；
當x=-1時，f(x)有極大值22。
（1）當x=-2時，f（x）有極小值-2；
當x=1時，f(x)有極大值2。
思考題：求函數y=1/4x4-4/3x3+2x2+5的極值
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楊老師
女，中教高級職稱
教學功底扎實，教學經驗豐富，對知識體系有深厚的了解。
