課程內容
《函數的最大（小）值與導數》
一、復習與引入
1.池函數f（x）在x0處連續時，判別f（x）是極大（小）值的方法是：
①如果在x0附近的左側f（x）﹥0右側f（x）＜0，那么，f（x0）是極大值；
②如果在x0附近的左側f′（x）﹥0右側f（x）﹥0，那么，f（x0）是極小值；
2.對于可導函數而言，導函數為零的點中該點為極值點的必要條件，而不是充分條件。可導函數的極值只能在函數導數為零的點取得。
3.在某些問題中，往往關心的是函數在一個定義區間上，哪個值最大，哪個值最小，而還是極值。
二、用課——函數的最值
觀察右邊一個定義在區間[a，b]上的函數y=f（x）的圖象。發現圖中f（x1）、f（x3）是極小值，f（x2）是極大值，在區間上的函數的最大值是f（b），最小值是f（x3）。
問題在于如果在沒有給出函數圖象的情況下，怎樣才能判斷出f（x3）是最小值，而f（b）是最大值呢？
導數的應用——求函數最值
求可導函數f（x）在閉區間[a，b]上的最值的步驟：
（1）求f(x)在區間（a，b）內的極值（極大值或極小值）
（2）將y=f（x）的積極值與f（a）、f（b）（端點處）比較，其中最大的一個最大值，最小的一個為最小值。
求函數的最值時，應注意以下點：
（1）函數的極值是在局部范圍內討論問題，是一個局部概念，而函數的最值是對某個區間或整個定義域而言。
（2）閉區間[a，b]上的連續函數一定有最值，開區間（a，b）內的可導函數不一定有最值，但若有唯一的極值，則此極值就是函數的最值。
（3）函數在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個，而函數的極值則可能不止一個，也可能沒有極值，并且極大值不一定就是最大值，極小值不一定就是最小值。
例1、求函數f（x）=x2-4x+6在區間[1,5]內的極值與最值
法二、解、f′（x）=2x-4
令f′（x）=0，即2x-4=0，得x=2
| x | 1 | （1，2） | 2 | （2，5） | 5 |
| y′ | - | 0 | + | ||
| y | 3 | ↘ | 2 | ↗ | 11 |
故函數f（x）在區間[1，5]內的極小值為2，最大值為11，最小值為2。
例2：求函數y=x4-2x2+5在區間[-2，2]上的最大值與最小值。
解：y′=4x-4x, 令y′=0，解得x=-1，0，1。
當x變化時，y′，y的變化情況如下表：
| x | -2 | （-2，-1） | -1 | （-0，1） | 0 | （0，1） | 1 | （1、2） | 2 |
| y′ | - | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | |
| y | 13 | ↘ | 4 | ↗ | 5 | ↘ | 4 | ↗ | 13 |
從上表可知，最大值是13，最小值是4。
例3：函數f（x）=x3+3x2-9x在[-4，4]上的最大什為 ，最小值為 。
分析：（1）由f′（x）=3x2+6x-9=0，得x1=-3，x2=1
當x變化時，f′（x）f（x）的變化情況如下表：
| x | -4 | （-4，-3） | -3 | （-3，1） | 1 | （1，4） | 4 |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||
| f（x） | 20 | 增 | 27 | 減 | -5 | 增 | 76 |
可知函數在[-4，4]上最大值為f（4）=76。
例4：已知P為拋物線y=x2上任意一點，則當點P到直線x+y+2=0的距離最小時，求點P到拋物線準線的距離
分析：點P到直線距離最小時，拋物線在點P處地切線斜率為-1，即函數在點P處的導數是-1，令P（a，b），于是有：2a=-1所以P（-1/2，1/4）準線方程為y=-1/4,故點P到準線的距離為1/2
五、小結
1、求可導數f（x）在[a，b]上的最值的步驟：
（1）求f（x）在[a，b]內的極值；
（2）將f（x）有各極值與f（a）、f（b）比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個最小值。
2.求函數的最值時，應注意以下幾點：
（1）要正確區分極值與最值這兩個概念。
（2）在[a，b]上連續，（a，b）上可導的函數f（x）在（a，b）內未必有最大值與最小值，但在[a，b]上必有最大與最小值。
六、課后作業
1）課本第32頁A組（6）
2）已知函數f（x）=x2-2（m-1）x+4在區間[1，5]內的最小值為2，求m的值。
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楊老師
女，中教高級職稱
教學功底扎實，教學經驗豐富，對知識體系有深厚的了解。
