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課程內(nèi)容

《空間向量的數(shù)量積運算》

學(xué)習(xí)目標(biāo) 

1.掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；

2.掌握兩個向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)和計算方法及運算律；

3.掌握兩個向量數(shù)量積的主要用途，會用它解決立體幾何中的一些簡單問題。

重點：兩個向量的數(shù)量積的計算及其應(yīng)用。

難點：兩個向量數(shù)量積的幾何意義。

知識要點

（1）兩個向量的夾角的意義

如圖，已知兩個非零向量(→，a)，(→，b)在空間任取一點O，作(→，A)=(→，a)，(→，OB)=(→，b)，則角∠AOB叫做向量(→，a)與(→，b)的夾角，記敘：<(→，a)，(→，b)>

范圍：0≤<(→，a)，(→，b)>≤π在這個規(guī)定下，兩個向量的夾角就被唯一確定了，并且<(→，a)，(→，b)>=<(→，b)，(→，a)>

如果<(→，a)，(→，b)>=π/2，則稱(→，a)與(→，b)互相垂直，并記作：(→，a)⊥(→，b)

（2）兩個向量的數(shù)量積

設(shè)(→，OA)=(→，a)，則有向線段(→，OA)的長度叫做向量(→，a)的長度或模記作：∣(→，a)∣

已知空間兩個非零向量(→，a)，(→，b)則∣(→，a)∣∣(→，b)∣cos<(→，a)，(→，b)>叫做向量(→，a)，(→，b)的數(shù)量積，記作：(→，a).(→，b)即

(→，a).(→，b)=∣(→，a)∣∣(→，b)∣cos<(→，a)，(→，b)>

規(guī)定，零向量與任何向量的數(shù)量積為0，即0.a=0。特別地a.a=∣a∣∣a∣cos=∣a∣2。

理解

a，b是兩個非零向量，現(xiàn)給出以下命題：

①a.b﹥0<=>∈｛0，π/2）；

②a.b﹥0<=>=π/2

③a.b﹥0<=>∈（π/2，π｝；

④∣a.b∣=∣a∣∣b∣<=>=π

其兩個正確的命題有

A.1個   B.2個    C.3個   D.4個

（3）射影

已知向量(→，AB)=(→，a)和軸L(→，e)是L上與L同方向的單位向量。作點A在L上的射影A1，作點B在L上的射影B1，則(→，A1B1)叫做向量在軸L上的或在(→，e)方向上的正射影，簡稱射影。

A1B1=∣(→，AB)∣cos<(→，a)(→，e)>=(→，a).(→，e)

注意：(→，AB)是軸L上的正射影A1B1是一個可正可負的實數(shù)，它的符號代表向量(→，AB)與L的方向的相對關(guān)系，大小代表在L上射影的長度。

（4）空間向量的數(shù)量積性質(zhì)

對于非零向量(→，a)，(→，b)，有：

（1）(→，a).(→，e)=∣(→，a)∣cos<(→，a)，(→，e)>

（2）(→，a)⊥(→，b)<=>(→，a).(→，b)=0

（3）∣(→，a）∣=(→，a).(→，a)

（5）空間向量的數(shù)量積滿足的運算律

（1）（λ(→，a)）.(→，ｂ)＝λ｛(→，a).(→，ｂ)｝

（2）｛(→，a).(→，ｂ)｝＝｛(→，ｂ).(→，ａ)｝（交換律）

（3）(→，a).｛(→，ｂ)+(→，ｃ)｝＝(→，a).(→，ｂ)+(→，a).(→，ｃ)（分配律）

小結(jié)

1、兩個向量的夾角

2、兩個向量的數(shù)量積

3、空間向量數(shù)量積的運算律。