課程內容
《余弦定理》
例如：在△ABC中，已知邊a，邊b及角C，如何求邊c呢？
如果角C是直角，那么可以用勾股定理求邊c的長。如果角C不是直角，那么是否可以構造直角三角形來求邊c的長呢？
如圖，在△ABC中不論∠C是銳角還是鈍角，都有AD=bsinC，BD=a-bcosC。
在Rt△ADB中，運用勾股定理，得
c2=AD2+BD2=b2sin2C+(a-bcosC)2
=a2+b2-2abcosC
同理可得：
b2=a2+c2-2abcosB
a2=b2+c2-2abcosA
余弦定理：
三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即：
a2=b2+c2-2abcosA
b2=a2+c2-2abcosB
c2=a2+b2-2abcosC
可以用向量來研究這個問題。
還可以用解析法來證明余弦定理：
如圖，以A為坐標原點，AB所在的直線為x軸，建立坐標系：
則A（0,0），B（c,0），C（bcosA,bsinA）
|BC|2=a2=(c-bcosA)2+(0-bsinA)2=b2+c2-2bccosA
應用1：求三角形中的邊與角
例1：如圖，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c。
例2：如圖，△ABC的頂點為A（6,5），B（-2,8）和C（4,1），求∠A。
例3：在△ABC中，
（1）若sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，求∠A。
（2）若sinA:sinB:sinC=（√3-1）:（√3-1）:10，求最大的內角。
應用2：證明恒等式或判斷三角形的形狀
例4：求證：在△ABC中，a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA。
例5：在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc·cosBcosC，試判斷三角形的形狀。
總結：
解三角形問題可以分為4種類型。已知兩角與一邊、兩邊與一邊對角、兩邊與其夾角、三邊，求其余邊或角。
常用結論：
（1）A+B+C=π
（2）sin(A+B)=sinC
（3）cos(A+B)=-cosC
（4）sin(A+B)/2=cosC/2
（5）a
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楊老師
女，中教高級職稱
教學功底扎實，教學經驗豐富，對知識體系有深厚的了解。
