課程內容
《等差數列的前n項和》
復習：
1、等差數列的定義：
{an}是等差數列←→an-an-1=d（n≥2）
2、通項公式：an=a1+（n-1）d
3、重要性質：an=am+（n-m）d
問題1：求S=1+2+3+…+100=？
問題2：如圖，是一堆鋼管，自上而下每層鋼管數為4、5、6、7、8、9、10，求鋼管總數。
問題3：設等差數列{an}的前n項和為Sn，即Sn=a1+a2+…+an，怎樣求一般等差數列的前n項和呢？
等差數列的前n項和公式：
公式1：Sn=n（a1+an）/2
公式2：Sn=na1+n（n-1）d/2
思考：
（1）兩個求和公式有何異同點？
（2）在等差數列{an}中，如果已知五個元素中a1、an、n、d、Sn的任意三個，請問：能否求出其余兩個量？
結論：知三求二
公式記憶——類比梯形面積公式記憶
等差數列前n項和公式的函數特征：
Sn=na1+（1/2）n（n-1）d=dn2/2+（a1-d/2）n
設A=d/2，B=a1-d/2，則Sn=An2+Bn（A，B是常數）
特征：當A≠0（即d≠0時），Sn是關于n的二次函數式，即Sn=An2+Bn的圖象是拋物線y=Ax2+Bx上的一群孤立的點。
思考：數列{an}的前n項和Sn=An2+Bn（A，B是常數），則數列{an}是不是一定要是等差數列？
結論：{an}是公差為2A的等差數列←→Sn=An2+Bn（A，B是常數）
問：如果一個數列{an}的前n項和Sn=pn2+qn+r（其中p，q，r為常數，且p≠0），那么這個數列一定是等差數列嗎？
結論：如果一個數列{an}的前n項和Sn=pn2+qn+r（其中p，q，r為常數，且p≠0），那么這個數列是等差數列當且僅當r=0。
例1：計算
（1）1+2+3+…+n；
（2）1+3+5+…+（2n-1）；
（3）2+4+6+…+2n；
（4）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n。
例2：等差數列-10，-6，-2，2…前多少項的和時54？
例3：數列{an}為等差數列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75。求S10。
例4：在等差數列{an}中，已知a2+a5+a12+a15=36，求S16。
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王老師
男，中教高級職稱
中學數學高級教師，長期從事中學數學教學工作。具有豐富的教學經驗和扎實的理論專業知識。
