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課程內容

《等差數列前n項和的性質及其應用》
練習：
1、若一個等差數列前3項和為34，最后三項和為146，且所有項的和為390，則這個數列共有_______項。
2、已知兩個等差數列{a_n}{b_n}，它們的前n項和分別是S_n，T_n，若S_n/T_n=（2n+3）/（3n-1），求a₉/b₉。
等差數列的前n項和性質：
1、已知{a_n}是公差為d的等差數列，若b₁=a₁+a₂+…+a_k，b₂=a_k+1+a_k+2+…+a_2k，b₃=a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k，…，
則：b₁，b₂，b₃，…，成等差數列，公差為kd。
（等差數列等分若干段后，各段和依序成等差數列。）
數列{a_n}是公差為d的等差數列，則S_n=An²+Bn → S_n/n=An+B → {S_n/n}是等差數列，公差為A。
2、已知{a_n}是公差為d的等差數列，S_n為數列{a_n}的前n項和，則{S_n/n}是等差數列，公差為d/2。
等差數列的前n項和的最值問題：
例1：在等差數列{a_n}中，a₁=-60，a₁₇=-12，
（1）該數列第幾項開始為正？
（2）前多少項和最小，并求其最小值？
（3）求{a_n}前n項和S_n？
（4）求{|a_n|}前n項和T_n？
對等差數列前n項和的最值問題有兩種方法：
（1）利用a_n：
當a₁＞0，d＜0，前n項和有最大值（可由a_n≥0，且a_n+1≤0，求得n的值）。
當a₁＜0，d＞0，前n項和有最小值（可由a_n≤0，且a_n+1≥0，求得n的值）。
（2）利用S_n：由S_n=（d/2）n²+（a₁-d/2）n二次函數配方法求得最值時n的值。
例2：已知等差數列{a_n}中，S_n為前n項和，a₃=12，且S₁₂＞0，S₁₃＜0。
（1）求公差d的取值范圍。
（2）前幾項和最大？并說明理由。
等差數列奇數項、偶數項和問題
結論：設數列{a_n}是等差數列，且公差為d，
（Ⅰ）若項數為偶數，設共有2n項，則①S_偶-S_奇=nd；②S_奇/S_偶=a_n/a_n+1；
結論：設數列{a_n}是等差數列，且公差為d，
（Ⅱ）若項數為偶數，設共有2n+1項，則①S_奇-S_偶=a_n+1=a_中；②S_奇/S_偶=（n+1）/n。
例3：在等差數列{a_n}中，前m項（m為奇數且m大于1）和為77，其中偶數項和為33，且a₁-a_m=18，求這個數列的通項公式。
例4：已知等差數列{a_n}的項數為偶數，且奇數的和為24，偶數項的和為30，最后一項與首項之差為10.5，求此數列的首項，公差及項數。