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課程內(nèi)容

《反證法 放縮法》
（1）反證法
先假設(shè)要證的命題成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件（或已知證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等）矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，這種方法稱為反證法，對(duì)于那些直接證明比較命題常常用反證法證明。
例1 已知x，y﹥0，且x+y﹥2，
試證（1+x）/y，（1+y）/x中至少有一個(gè)小于2。
證明：假設(shè)（1+x）/x，（1+y）/x都不小于2,
即（1+x）/y≥2,且（1+y）/x≥2，
∵x，y﹥0，∴1+x≥2y，1+y≥2x，
∴2+x+y≥2（x+y）∴x+y≤2，
這與已知條件x+y﹥矛盾。
∴（1+x）/y與（x+y）/x中至少有一個(gè)小于2
例2 已知a，b,c為實(shí)數(shù)，a+b+c﹥0，ab+bc+ca﹥0，abc﹥0，求證：a﹥0，b﹥0,c﹥0。
證明：假設(shè)a，b，c不全是正數(shù)，
即其中至少一個(gè)不是正數(shù)，
不妨先設(shè)a≤0，下面分a=0和a＜0兩兩種情況討論。
（1）如果a=0，則abc=0，與abc﹥0矛盾，∴a=0不可能。
（2）如果a＜0，那么由abc﹥0,可得bc＜0，又a+b+c﹥0，
∴b+c=-a﹥0，于是ab+bc+ca=a（b+c）+bc＜0，這和已知ab+bc+ca﹥0相矛盾，∴a＜0也不不可能綜上所述a﹥0，同理可證b﹥0，c﹥0,所以原命題成立。
反證法主要適用于以下兩種情形
（1）要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；
（2）如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論而從反面進(jìn)行證明，只研究一種或很小的幾種情形。
（2）放縮法
證明不等式時(shí)，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，可以使不等式中有關(guān)項(xiàng)之間的大小關(guān)系更加明確或使不等式中的項(xiàng)得到簡化而有利于代數(shù)變形，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法。
通常放大縮小是不唯一的，因而放縮法具有獎(jiǎng)勵(lì)的靈活性；另外，用放縮法證明不等式，關(guān)鍵是放縮適當(dāng)，否則就不能達(dá)到目的，因此放縮法是技巧性較強(qiáng)的一種證法。
例3 已知a，b,c，d ∈R₊，求證1＜a/（a+b+d）+b/（b+c+a）+c/（c+d+b）+d/（d+a+c）＜2
證明：∵a,b，c，d﹥0，
∴a/（a+b+c+d）＜a/（a+b+d）＜a/（a+b）
b/（a+b+c+d）＜b/（b+c+a）＜b/（a+b）
c/（a+b+c+d）＜c（c+d+b）＜c/（c+d）
d/（a+b+c+d）＜d/（d+a+c）＜d/（c+d）
把以上四個(gè)不等式相加得
（a+b+c+d）/（a+b+c+d）＜b/（a+b+d）+b/（b+c+d）+c/（c+b+d）+d/（d+a+c）＜（a+b）/（a+b）+（c+d）/（c+d）。即
1＜a/（a+b+d）+b/（b+c+a）+c（c+b+a）+d/（d+a+c）＜2
例4 已知a，b是實(shí)數(shù)，求證∣a+b∣/1+∣a+b∣≤∣a∣/1+∣a∣+∣b∣/1+∣b∣。
證明：∴0≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
∴∣a+b∣/1+∣a+b∣=1-1/1+∣a+b∣≤1-1/1+∣a∣+∣b∣=∣a∣+∣b∣/1+∣a∣+∣b∣
=∣a∣/1+∣a∣+∣b∣+∣b∣1+∣a∣+∣b∣≤∣a∣/1+∣a∣+∣b∣+
∣b∣/1+∣b∣。
2.已知實(shí)數(shù)，x，y，z不全為零，求證：
√（x²+xy+y²）+√（y²+yz+z²）+√（z²+zx+x²）﹥3/2（x+y+z）
證明：√（x²+xy+y²）=√{（x+y/2）²+3/4y²}≥√（x+y/2）²
=∣x+y/2∣≥x+y/2
同理可得√（y²+yz+z²）≥y+z/2，√（z²+zx+x²）≥z+x/2
由于x，y，z不全為零，故上述三式中至少有一式取不到等號(hào)，所以三式相加得√（x²+xy+y²）+√（y²+yz+z²）+√（z²+zx+x²）﹥（x+y/2）+（y+z/2）+（z+x/2）=3/2（x+y+z）
放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小，尋找一個(gè)中間量，如要證明A＜B，可先將A放大成&，即A＜C，后證C＜B常用的放縮技巧有：
（1）舍掉（或加進(jìn)）一些項(xiàng)；如（a+1/2）²+3/4﹥（a+1/2）²；
（2）在分式中放大或縮小分子或分母，如a，b，c﹥0，1/（a+b+c），1/(a+b)＜1/a，1/k²＜1/k（k-1）,/k²﹥1/k（k+1），1/√k＜2/√k+√k+1