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課程內容

《比較法》
（1）作差比較法
一、比較法
例1  已知a，b都是正數，且a≠b，求證a³+b³﹥a²b+ab²
證明：（a3+b3）-（a²b+ab²）=（a³-a²b）-（ab²-b³）
    =a²（a-b）-b²（a-b）=（a²-b²）（a-b）
    =（a+b）（a-b）²
∵a，b﹥0,∴a+b﹥0
又∵a≠b∴（a-b）²﹥0
故（a+b）（a-b）²﹥0即（a³+b³）-（a²b+ab²）﹥0
∴a³+b³﹥a²b+ab²
例2 如果用akg白糖制出bkg糧溶液，則其濃度為a/b，若要上述溶液中添加mkg白糖，此時溶液的嘗試增加到（a+m）/（b+m）,將這個抽象為數學問題，并給出證明。
解：可以把上述事實抽象成如下不等式問題：
已知a，b，m都是正數，并a＜b且，則（a+m）/（b+m）﹥a/b下面給出證明
（a+m）/（b+m）-a/b=m（b-a）/b（b+m）
∵b＜a∴b-a﹥0，又∵a，b，m都是正數，
∴m（b-a）﹥0，b（b+m）﹥0
∴m（b-a）/b（b+m）﹥0即（a+m）/（b+m）-a/b﹥0
∴（a+m）/（b+m）﹥a/b
（2）作商比較法
例3 已知a，b是正數，求證a^ab^b≥a^bb^a,
當且僅當a=b時，等號成立。
證明：a^ab^b/a^bb^a=a^a-bb^b-a=（a/b)^a-b
根據要證的不等式的特點（交換a，b的位置，不等式不變）
不妨設a≥b﹥0，則a/b≥1，a-b≥0，∴（a/b）^a-b≥1
當且僅當a=b時，等號成立。
a^ab^b≥a^bb^a，當且僅當a=b時，等號成立。
變式引申：求證：若a，b，c∈R+，則a^ab^bc^c≥（abc）（a+b+c）/3
補充例題：已知a﹥2，求證：loga（a-1）＜log（a+1）^a
1.已知a﹥b，求證a³-b³﹥ab（a-b）
2.已知a，b，c是正數，求證a^2ab^2bc^2c≥a^b+cb^c+ac ^+b