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第28章《銳角三角函數(shù)》28.1 銳角三角函數(shù)（1）
問題 為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌?，F(xiàn)測(cè)得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30°，為使出水口的高度為35m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？
思考
在上面的問題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？
∠A的對(duì)邊/斜邊=B'C'/AB'=
AB'=2B'C'=2×50=100
結(jié)論：在一個(gè)直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么不管三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值都等于。
。思考
如圖，任意畫一個(gè)Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比BC/AB，你能得出什么結(jié)論？
在Rt△ABC中，∠C=90°，由于∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得
因此
結(jié)論
綜上可知，在一個(gè)Rt△ABC中，∠C=90°，當(dāng)∠A=30°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，是一個(gè)固定值；當(dāng)∠A=45°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于
，也是一個(gè)固定值。
，是一個(gè)固定值；當(dāng)∠A=45°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，也是一個(gè)固定值。問題
一般地，當(dāng)∠A取其他一定度數(shù)的銳角時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值？
探究
任意畫Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，那么BC/AB與B'C'/A'B'有什么關(guān)系，你能解釋一下嗎？
在圖中，由于∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'
這就是說，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值，并且直角三角形中一個(gè)銳角的度數(shù)越大，它的對(duì)邊與斜邊的比值越大。
正弦函數(shù)
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即
sinA=∠A的對(duì)邊/斜邊=a/c
例如，當(dāng)∠A=30°時(shí)，我們有sinA=sin30°=
小試牛刀
在Rt△ABC，Rt△DEF中，∠B=30°，∠D=45°，∠C=90°，∠F=90°，若AB=DE=2，
（1）求∠B的對(duì)邊與斜邊的比值；
（2）求∠A的對(duì)邊與斜邊的比值；
（3）求∠D的對(duì)邊與斜邊的比值。
例1 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值。
解：（1）在Rt△ABC中，
因此sinA=BC/AB=3/5
sinB=AC/AB=4/5
（2）在Rt△ABC中，
因此sinA=BC/AB=5/13
sinB=AC/AB=12/13
練習(xí)
根據(jù)下圖，求sinA和sinB的值。
根據(jù)下圖，求sinB的值。
如圖，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB，圖中sinB可由哪兩條線段比求得。
練一練
1、判斷對(duì)錯(cuò)
如圖
（1）sinA=BC/AB（ ）
（2）sinB=BC/AB（ ）
（3）sinA=0.6m（ ）
（4）sinB=0.8（ ）
如圖
sinA=BC/AB（ ）
2、在Rt△ABC中，銳角A的對(duì)邊和斜邊同時(shí)擴(kuò)大100倍，sinA的值（ ）
A、擴(kuò)大100倍 B、縮小1/100
C、不變 D、不能確定
3、如圖
，則sinA=________。
，則sinA=________。小結(jié)
如圖，Rt△ABC中，直角邊AC、BC小于斜邊AB，
sinA=BC/AB＜1
sinB=AC/AB＜1
所以0＜sinA＜1，0＜sinB＜1。
如果∠A＜∠B，則BC＜AC，那么0＜sinA＜sinB＜1。
小結(jié)拓展
1、銳角三角函數(shù)定義：
sinA=∠A的對(duì)邊/斜邊
sin30°=
sin45°=
sin45°=2、sinA是∠A的函數(shù)。
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張老師
女，中教高級(jí)職稱
優(yōu)秀教師，市級(jí)骨干教師、“教學(xué)標(biāo)兵”、勞動(dòng)模范，市數(shù)學(xué)教學(xué)與研究科研組帶頭人，注重教學(xué)改革與實(shí)踐。
