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課程內容

《微積分基本定理（1）》
一、探究
從前面的學習中可以發現，雖然被積函數f（x）=x3非常簡單，但直接用積分的定義計算，∫^b_ax³dx的值卻比較麻煩，對于有些宣∫^b_a1/xdx,幾乎不可能直接用定義計算，那么，有沒有更加簡便、有效的方法求定積分呢？另外，我們已經學習了微積分學中兩個最基本和最重要的概念，——導數和定積分，這兩個概念之間有沒有內在的聯系呢？我們能否利用這種聯系求定積分呢？
請你嘗試利用定積分定義計算+∫²₁（1/xdx
我們先來探究一下導數和定積分的聯系。（x）dx+∫^b_a（x）dx
探究 如圖1.6-1、一個作變速直線運動的物體的運動規律是s=s（t）由導數的概念可知，它在任意時刻的速度V（t）=s(t)設這個物體在時間段[a、b]內的位移為S，你能分別用s(t)，v(t)表示S嗎？
顯然，物體的位移S是函數S=S（t）在t=b處與t=a外的函數值之差，即S=s（b）-s（a）。①
另一方面，我們還可以利用定積分，由v（t）g來求位移S用分點a=t₀＜t₁……＜t_i-1＜t_i……t_n=b將區間[a,b]等分成n個小區間；
[t₀，t₁]，[t₁，t₂],……[t_i-1],……[t_n-1,t_n],
每個小區間的長度均為Δt=t_i-t_i-1=(b-a)/n.
當Δt很小時，在[t_i-1,t_t]上，v（t）的變化很小，可以認為物體近似地以速度v（t_i-1）作勻速運動，物體所作的位移Δs≈h₁=v(t_i-1)Δt=t_i-1Δs=(b-a)/ns'（t_i-1）②
從幾何意義上看，（圖1.6-2），設曲線s=s(t)上與t_i-1對應的點為P、PD是P點處的切線，由s（t_i）導數的幾何意義知，切線PD的斜率等于s（t_i-1）于是Δs_i≈h_i=tan＜DPC.Δt=S（t_i-1）.Δt。
結合圖1.6-1，可得物體總位移S=（nΣi=1）Δsi≈（nΣi=1）hi=（nΣi=1）v（t_i-1）Δt=（nΣi=1）s'（t_i-1）Δt。
顯然，n越大，即Δt越小，區間[a，b]的分劃就越細，
（nΣi=1）V（t_i-1）Δt=（nΣi=1）s（t_i-1）Δt與S的近似程度就越好。
由定積分的定義有S=lim_nà∞（nΣi=1）(b-a)/nV（t_i-1）=∫^b_aV（t）dt=∫^b_as'（t）dt。
結合①有S=∫^b_aV（t）dt=∫^b_as'（t）dt=s（b）-s（a）。
上式表明，如果作變速直線運動的物體的運動規律是s=s（t）,那么V（t）=s（t）在區間[a，b]上的定積分就是物體的位移s（b）-s(a)。
二、定義
一般地如果f（x）是區間[a，b]上的連續函數并且f（x）=f(x)，那么∫^b_a (x)dx=F（b）-F(a)，這個結論叫做微積分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫做牛頓——萊布呢茲公式，（Newton—Leibniz Formula).
為了方便，我們常常把F（b）-F（a）記成F(x)∣^b_a ；即∫^b_af（x）dx=F(x)∣^b_a=F（b）-F（a）。
微積分基本定理表明，計算定積分∫^b_a f(x)dx的關鍵是找到滿足F（x）=f（x）的函數F（x），通常，我們可以運用基本初等函數的求導公式和導數的四則運算計則從反方向求F（x）。