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課程內容

《二項式定理復習課》
（a+b）ⁿ=C⁰_na²+C¹_na^n-1b+C²_nn^n-2b²+…+C^r_na^n-rb^r+Cⁿ_nbⁿ
（n∈N）
這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做（a+b）n的展開式，其中C^r_n（r=1，2，……，n）叫做二項式系數，C^r_na^n-rb^r叫做二項展開的通項，用T_^r+1表示，該項是指展開的第r+1項，展開式共有n+1個項。
T_^r+1=C^r_na^n-rb^r
系數性質
（1）二項式系數的三個性質：
對稱性
增減性與最大值
各二項式系數的和
增減性：當k＜（n+1）/2時，二項式系數是逐漸增大的，
由對稱性知，它的后半部分是逐漸減小的。
最值：當n是偶數時，中間的一項C^n/2_n取得最大值時；
當n是奇數時，中間的兩項C^n-1/2_n和C^n+1/2_n相等，且同時取得最大值。
二項式系數之和：2n（由賦值法求得）
各二項式系數的和
在二項式定理中，令a=b=1，則：C⁰_n+¹_n+C²_n+……+Cⁿ_n=2ⁿ
這就是說，（a+b）ⁿ的展開式的各二項式系數的和等于：2ⁿ
另：在（a+b）ⁿ展開式中，奇數項中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二式系數的和。
C⁰_n+C²_n+……=+C¹_n+C³_n=2ⁿ/2=2ⁿ-1
例1 計算并求值
（1）1+2C¹_n+4Cⁿ_n+…+2ⁿCⁿ_n
（2）（x-5）⁵+5（x-1）⁴+10（x-1）³+10（x-1）²+5（x-1）
例題講解
例2、如果：1+2C¹_n+2²C²_n+…+2ⁿCⁿ_n=2187
求：C¹_n+…+C^r_n+…+Cⁿ_n 的值。
分析：1+2C¹_n+2²C²_n+…+2ⁿCⁿ_n=C⁰_n^.2^0.1ⁿ+C¹_n^.2^.1^n-1+C²_n.2^2.1 n-2+…+Cⁿ_n.2ⁿ.¹⁰=（1+2）ⁿ=3ⁿ
由題意，得3ⁿ=2178=3⁷  于是n=7
C⁰_n+C¹_n+…+C^r_n+…+Cⁿ_n=2ⁿ
原式=C¹_n+…C^r_n+…+Cⁿ_n=2ⁿ-1=2⁷-1=127
例3 若n∈N₊，（√2+1）ⁿ=√2a_n+b_n，（a_n，b_n∈Z），則b_n的值（A）
A 一定為奇數        B與n的奇偶性相反
C 一定為偶數        D與n的奇偶性性相同
例4：由（√3x+³√2）¹⁰⁰展開式所得的x的多項式中，系數為有理數的共有多少項？
分析：考慮（√3x+³√2）¹⁰⁰的展開式的通項
T_r+1=C^r100（√3x）^100-r（3√2）^r
=C^r₁₀₀3^100-r/22^r/3x^100-r=C^r₁₀₀3^50-r/22^r/3x^100-r
要使x系數為有理數，則r為6的倍數，令r=6k（k∈Z），而且0≤6k ≤100，即r=0，6，12，…，96。因此共有17項。