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課程內容

《微積分定理（2）》
一、復習
（1）定積分的基本性質
性質1：∫^b_akf（x）dx=k∫^b_af（x）dx
性質2：∫^b_a[f（x）±g（x）]dx=∫^b_af（x）dx±∫^b_a（x）dx
復習：（2）（微積分基本定理）
如果f（x）在區間[a,b]上的連續函數，并且F（x）=f（x）,則∫^b_af（x）dx=F（b）-F（a）。
記：F（b）-F（a）=F（x）)∣^{b_{a
即：∫baf（x）dx=F（x）)∣}b_a}=F（b）-F（a）
復習（3）基本初等函數的導數公式
1.若f（x）=c，則f'（x）=0
2.若f（x）=xⁿ，則f’（x）=nx^n-1（n∈R）
3.若f（x）=sinx，則f'（x）=cosx
4.若f（x）=cosx，則f'（x）=-sinx
5.若f（x）=a^x，則f'（x）=a^xlna
6.若f（x）=e^x，則f'（x）=e_x
7.若f（x）=long_ax，則f'（x）=1/xlna
7.若f（x）=lnx，則f'（x）=1/x。
二、常用積分公式
（1）∫^b_axⁿdx=1/（n+1）x ⁿ⁺¹∣^b_a（n≠-1）
（2）∫^b_a1/xdx=ln∣x∣∣^b_a
（3）∫^b_ae^xdx=e^x∣^b_{a
（4）∫^ba}a^xdx=1/（lna）a^x∣^b_a
^（5）∫^b_a sin xdx=-cos x∣^b_a
（6）∫^b_a cos xdx=-sin x∣^b_a
三、應用：
例1（1）求∫^-1 _-2 -dx。
解：當x＜0時，1/x的一個原函數是ln（-x）（x＜0）,
∫^-1 _-2 -dx=[ln（-x）]∣^-1 _-2 =ln1-ln2=-ln2.
（2）求∫^n/2 ₀（2cosx+sinx-1）dx.
解：原式=（2sinx-cosx-x）∣^n/2 ₀=3-π/2.
例2.計算定積分
∫³₁ （3x²-1/x²）dx
解：∵（x³）'=3x²，（1/x）'=-1/x²
原式：∫³₁3x²dx∫³₁1/x²dx=∫³₁3x²+∫³₁（-1/x²）dx
=x³∣³₁+1/x∣³₁=（3³-1³）+（1/3-1/1）=76/3
例3 設f（x）=