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課程內容

《復數代數表形式的四則運算》
一、復習回顧
1、設Z₁=a+bi，Z₂=c+di，則Z₁-Z₂分別等于什么？
Z₁±Z₂=（a±c）+（b±d）i。
2、設Z₁，Z₂為復數，則∣Z₁-Z₂∣的幾何意義是什么？
復數Z₁，Z₂對應復平面內的點之間的距離。
二、問題探究
設Z₁=a+bi，Z₂=c+di是任意兩個復數
（a+bi）（c+di）=ac+adi+dci+bdi²=（ac-bd）+（bc+ad）i
（1）復數的乘法與多項式的乘法類似，只要在怕得結果中把i²換成-1，然后實部，虛部分別合并。
（2）兩個復數的積仍然是一個復數。
（二）復數的乘法運算律
對于任意Z₁，Z₂，Z₃，∈C
（1）Z₁.Z₂=Z₂.Z₁
（2）（Z₁.Z₂）.Z₃=Z₁.（Z₂.Z₃）
（3）Z₁+（Z₂+Z₃）=Z₁Z₂+Z₁Z₃
復數的乘法滿足交換律、結合律和對加法的分配。
三、典型例題
例1：計算
（1）（a+bi）（a+bi）   a²+b²
（2）（a+bi）²       （a²+b²）+2abi   
a+bi與a-bi  （三）共軛復數
當兩個復數的實部相等，虛部為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數。
虛部不為零有兩個共軛復數也叫做共軛虛數。
復數Z=a+b1的共軛復數記作（-，Z），即（-，Z）a-bi
問題1：一對共軛復數平面內所對應點的位置關系如何？
       關于實軸對稱
問題2：若Z=（-，Z）則復數Z具有什么特征？
       Z為實數
問題3：設Z=a+bi （a，b∈R），那么Z+（-，Z）=？Z-（-，Z）=？
（四）復數的除法法則
設復數Z₁=a+bi，  Z₂=c+di （c+di≠0），
求Z₁÷Z₂？
（a+bi）/（c+di）=（a+bi）（a-di）/（c+di）（c-di）=（ac+bd）/（c²+d²）+（bc-ad）/（c²+d²）i
在進行復數除法運算時，通常先把除式寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母有共軛復數，化簡后寫成代數形式（分母實數化）
兩個復數相除（除數不為0），所得的商一還是一個復數。
【探究】i的指數變化規律
i¹=i，    i²=-1，    i⁴=1
i⁵=     ，i⁶=     ，i⁷=     ，i⁸=     
i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1,i⁴ⁿ⁺³=-i
【例2】求值：i+i²+i³+……+i²⁰⁰⁶
解：原式=（i+i²+i³+i⁴）+（i⁵+i⁶+i⁷+i⁸）+…+（i²⁰⁰¹+i ²⁰⁰²+i²⁰⁰³+i²⁰⁰⁴）+i²⁰⁰⁵+i²⁰⁰⁶=0+i¹+i²=i-1
例3：設Z=（1+2i）÷（3-4i）×（1+i）²求（-，Z）。
    （-，Z）=-4/5+2/5 i
例4：復數Z滿足（1+2i）（-，Z）=4+3i，求Z
     Z=2+i
例5：設復數Z=（√3+mi）/（3+√3i）,若Z為純虛數，求實數m的值。
     m=-3
例6：已知方程x²-2x+2=0有兩虛數根為x₁,x₂，求x₁⁴+x₂⁴的值。
解：∵x_1，2=1±i,
    ∴x₁⁴+x₂⁴=（1+i）+（1+i）⁴=（2i）²+（-2i）²=-8。
課堂小結
1.復數的乘法法則類似于兩個多項式相乘，展開后要把i²換成-1，并將實部與虛部分別合并。
2.復數的除法法則類似于兩個根式的除法運算，一般先將除法運算式寫成分式，再將分子分母同乘以分母的共軛復數，使分母實數化，分子按乘法法則運算。
3.對復數的乘法、除法運算要求掌握它們的算法，不要求記憶運算分工，對復數式的運算結果，一般要化為代數式。