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課程內(nèi)容

《距離的向量計算方法》

1、距離的定義

一點到它在一個平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點到這這個平面的距離。
當(dāng)直線與平面平行時，直線上任一點到與它平行的平面的距離，叫做這條直線到平面的距離。
當(dāng)兩平面平行，一個平面圖上任一點到另一個平面的距離，叫做兩個平行平面的距離。
2、點到平面距離的向量計算公式
如圖A∈α，空間一點P平面α的距離為d，已知平面α的一個向量為(→，n)，且(→，)不共線，能否用(→，AB)與(→，n)表示d？
分析：過P作PO⊥α于O，連接AO。
則d=∣(→，OP)∣=∣(→，PA)∣.cos∠APO。
∵(→，PO)⊥α，(→，n)⊥α，∴(→，PO)∥(→，n)。
∴cos∠APO=∣cos<(→，PA)，(→，n)>∣。
∴d=∣(→，PA)∣∣cos<(→PA)，(→，n)>∣=∣(→，PA)∣.∣cos(→，PA)，(→，n)∣/(→，n)=∣(→，PA).(→，n)∣/∣(→，)∣
點B到平面α的距離：d=∣(→，AB).(→，n)∣/∣(→，n)∣
(→，n) 是平面α的法向量
這個結(jié)論說明，平面外一點到平面的距等于連續(xù)此點與平面上的任一點（常選擇地一個特殊點）的向量在平面的法向量上班射影的絕對值。
3、點到平面的距離的向量計算示例
例1，ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AD、AB的中點，GC垂直平面ABCD，GC=2，求點到B到平面EFG距離。
解：如圖建立空間坐標(biāo)系
則E（2，0，0），F(xiàn)（4，2，0），G（0，4，2）(→，F(xiàn)B)=（0，2，0）(→，GF)=（4，-2，-2）(→，GE)=（2，-4，-2）
設(shè)平面的法向量(→，n)=（x，y，z）
則(→，GE).(→，n)=0，(→，GF).(→，n)=0
∴2x-4y-2z=0
4x-2y-2z=0
∴(→，n)=（1，-1，3）
∵(→，F(xiàn)B)=（0，2，0）
∴ d=∣(→，F(xiàn)B).(→，n)∣/∣(→，n)∣=2√11/11
4、兩異面直線的距離定義及向量計算公式
和兩條異面直線都垂直相交的直線，我們稱之為異面直線的公垂線。
兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段叫做公垂線段。
公垂線段的長度，叫做兩條異面直線間的距離，異面直線a，b之間的距離：
d=AA1=(→，AC).(→，n)/(→，n)
5、兩異面直線距離的向量計算公式示例
例3，已知正方體AC1的棱長為a，求B1C與BD間的距離。
解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B（a，a，0），（0，a，0），B（a，a，a），D（0，0，0）
所以(→，DB)=（a，a，0），(→，CB)=（a，0，a）
設(shè)公垂向量為(→，n)=（x，y，z）
即  (→，n).(→，DB)=ax+ay=0 =>(→，n)=（-1，1，1） 
(→，n).(→，CB)=ax+az=0  
∴d=∣(→，CB).(→，n)∣/∣(→，n)∣=∣（a，0，0）∣.（-1，1，1）/√=x√3/3a
小結(jié)
異面直線距離的求解法：
①求出兩條異面直線的公垂向量。
②給出連接兩條異面直線的一個向量。
點到面、線到面、面到面距離的求解法：
①求出平面的一個法向量
②給出連接點與面的一個向量。