課程內容
《離散型隨機變量的均值》
一、引例
1、某人射擊10次，所得環數分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則所得的平均環數是多少？
（-，x）=(1+1+1+1+2+2+2+3+3+4)/10=2
把環數看成隨機變量的概率分布列：
|
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
P |
4/10 |
3/10 |
2/10 |
1/10 |
（-，X）=1×4/10+2×3/10+3×2/10+4×1/10=2
2、某商場要將單價分別為18元/kg，24元/kg，36元/kg的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售，如何對混合糧果定價才合理？
把3種糖果的價格看成隨機變量的概率分布列：
| X | 18 | 24 | 36 |
| P | 3/6 | 2/6 | 1/6 |
（-，X）=18×1/2+24×1/3+36×1/6=23（元/kg）
| X | x1 | x2 | … | xi | … | xn |
| P | P1 | P2 | … | Pi | … | Pn |
EX=x1P1+x2P2+…+xiPi+…xnPn
思考：
設Y=ax+b，其中a，b為常數，則Y也是隨機變量。
（1）Y的分布列是多少？
（2）EY=？
| X | x1 | x2 | … | xi | … | xn |
| P | P1 | P2 | … | Pi | … | Pn |
ê
| X | x1 | x2 | … | xi | … | xn |
| Y | ax1+b | ax2+b | … | axi+b | … | axn+b |
| P | P1 | P2 | … | Pi | … | Pn |
Ey=（ax1+b）P1+（ax2+b）P2+…+（axn+b）Pn
=a（x1P1+x2P2+…+xnPn）+b（P1+P2+…Pn）
=aEX+b
三、例題講解
例1.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中的0分。已知某運動員罰球命中的概率為0.7，則他罰球1次的得分X的均值是多少？
小結：一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，
| X | 1 | 0 |
| P | P | 1-P |
則EX=1×P+0×（1-P）P
例2.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知某運動員罰球命中的概率為0.7，他連續罰球3次；
（1）求他得到的分數X的分布列；
（2）求X的期望。
解：（1）X～B（3，0.7）
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.33 | C130.7.0.32 | C230.72.0.3 | 0.73 |
（2）EX=0×0.33+1×C130.7.0.32+2×C230.72.0.3+3×0.73
EX=2.1
小結：
一般地，如果隨機變量X服從二項分布，即X～B（n,p），則EX=nP
證明：服從二項分布ζ=np 提示：kCkn=nCk-1n-1
證明：P（ζ=k）=CknPk（1-p）n-k=CknPkqn-k
Eζ=0×C0nP0qn+1×C1nP1qn-1+…+kCknPkqn-k+…+CnnPnq0
=np（C0n-1P0qn-1+C1n-1P1qn-1+…+kCk-1n-1P-1kqn-k-（k-1）+…+Cn-1n-1Pn-1q0）
=nP（P+q）n-1=nP
所以，若ζ～B（n，P），則Eζ=np
例3：
一次英語單元測驗由20個選擇題結成，每個選擇題有4個選項，其中有且只有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分，學生甲選對任意一題的概率為0.9，學生乙則在測驗中，對每題都從4個選項中隨機的選擇一個。求學生甲和乙這次英語單元測驗中的成績的期望。
解：設X1表示甲選對的題數、X2乙選對的題數，它們都滿足二項分布：
X1～B（20，0.9） X2～B（20，0.25）
所以：EX1=np=20×0.9=18
EX2=np=20×0.25=5
甲所得分數的期望為：18×5=90
乙所得分數的期望為：5×5=25
例4，決策問題：
根據氣象預報，某地區近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區某工地上有一臺大型設備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元。為保護設備，有以下種方案：
方案1：運走設備，搬運費為3800元。
方案2：建保護圍墻，建設費為2000元，但圍墻只能擋住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不發生洪水。
度比較哪一種方案好。
此內容正在抓緊時間編輯中，請耐心等待
關老師
男，中教高級職稱
他對新教材、新教法有深入研究和獨特見解，教學細致嚴謹，重視數學思維訓練和學習方法指導。
