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課程內(nèi)容

《充分條件與必要條件》
一、復習引入
1、命題：可以判斷真假的陳述句，可寫成：若p則q。
2、四種命題及相互關系：

注：兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性。
3、例：判斷下列命題的真假。
（1）若x﹥a²+b²，則x﹥2ab。
（2）若ab=0，則a=0。
解：（1）因為若x﹥a²+b²，而a²+b²≥2ab，所以可以得到x﹥2ab。（真命題）
（2）因為若ab=0則應該有a=0或b=0。所以立項不能得到a一定為0。（假命題）
4、例，將（1）改寫成“若p，則q”的形式并判斷下列命題的真假及其逆命題的真假。
（1）有兩個角相等的三角形是等腰三角形。
（2）若a²﹥b²，則a﹥b。
解：（1）原命題：若一個三角形有兩個角相等，則這個三角形是等腰三角形。（真命題）
逆命題：若一個三角形是等腰三角形，則這個三角形有兩個角相等。（真命題）
（2）原命題：若a²﹥b²，則a﹥b。（假命題）
     逆命題：若a﹥b，則a²﹥b²。（假命題）
（1）若一個三角形有兩個角相等，則這個三角形是等腰三角形。
（2）若a²﹥b²，則a﹥b。
5、在原命題中研究條件對結論的制約程度
在真命題（1）中，p足以導致q，也就是說條件p充分了。
在假命題（2）中條件p不充分。
（6）在逆命題中研究結論對條件的依賴程度
在真命題（1）中，p是q成立必須具備的前提。
在假命題（2）中，p不是q成立必須具備的前提。
二、新課
1、如果命題“若p則q”為真，則記作p=>q（或q<=p）。
2、如果命題“若p則q”為假，則記作p≠>q。
練習1，用符號=>與≠>填空。
（1）x²=y² ≠> x=y；
（2）內(nèi)錯角相等 => 丙直線平行；
（3）整數(shù)a能被6整除 => a的個位數(shù)字為偶數(shù)；
（4）ac=bc ≠> a=b。
1、定義1：如果已知p=>q，則說p是q的充分條件。
   定義2：如果已知q=>p，則說p是q的必要條件。
   定義3：如果既有p=>q，又有q=>p，就記作p<=>q，則說p是q的充要條件。
2、從集合角度融解：
①p=>q，相當于p?Q，即p、Q或p、Q--有它就行。
②q=>p,相當于Q?p，即Q、p或p、Q--缺它不行。
③p<=>q，相當于p=Q，即p、Q。
3、簡化定義：如果已知p=>q，則說p是q的充分條件，q是q的必要條件。
例1，下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？
（1）若x=1，則x2-4x+3=0；
（2）若f（x）=x，則f（x）為增函數(shù)；
（3）若x為無理數(shù)，則x²為無理數(shù)。
解：命題（1）（2）是真命題，命題（3）是假命題，所以命題（1）（2）中的p是q的充分條件。
如何正確理解充分條件與必要條件
1、充分條件的特征是：當p成立時，必有q成立，但當p不成立時，未必有q不成立。因此要使q成立，只需要條件p即可，故稱p是q成立的充分條件。
2、必要條件的特征是：當q不成立時，必有p不成立，但當q成立時，未必有p成立，因此要使p成立，必須具備條件q，故稱q是p成立的必要條件。
練習2 下列“若p，則q”琖的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？
（1）若兩個三角形全等，則這兩個三角形相似；
（2）若x﹥5，則x﹥10。
解：命題（1）是真命題，命題（2）是假命題，所以命題（1）中的p是q的充分條件。
判別充分條件與必要條件
4、判別步驟
①認清條件和結合。②考察p=>q和q=>p的真假。
5、判別技巧；
①可先簡化命題。
②否定一個命題只要舉出一個反例即可。
③將命題轉化為等價的逆否命題后再判斷。
例2下列“若p，則q”形式的命題中，那些命題中的q是p的必要條件？
（1）若x=y，則x²=y²。
（2）若兩個三角形全等，則這兩個三角形的兩種相等。
（3）若a﹥b,則ac﹥bc。
解：命題（1）（2）是真命題，命題（3）是假命題，所以命題（1）（2）中的q是p的必要條件。
練習3下列“若p，則q”形式的命題中，那些命題中的p是q的必要條件？
（1）若a+5是無理數(shù)，則a是無理數(shù)。
（2）若（x-a）（x-b）=0，則x=a.
分析：注意這里考慮的是命題中的p是q的必要條件。所以應該分析下列命題的逆命題的真假性。
解：命題（1）（2）是逆命題都是真命題，所以命題（1）（2）中的p是q的必要條件。
練習4，判斷下列命題的真假；
（1）x=2是x2-4x+4=0的必要條件；
（2）圓心到直線的距離等于半徑是這條直線為圓的切線的必要條件。
（3）sin A=sin B是A=B的充分條件；
（4）ab≠0是a≠0的充分條件。
答：命題（1）為真命題；
    命題（2）為真命題；
    命題（3）為假命題；
    命題（4）為假命題。
三、小結
1、定義：如果已知p=>q，則說p是q的充分條件，p是q的必要條件。
2、判別步驟：
①認清條件和結合。②考察p=>q和q=>p的真假。
3、判別技巧：
①可先簡化命題。
②否定一個命題只要舉出一個反例即可。
③將命題轉化為等價的逆否命題后再判斷。