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課程內容

《正太分布》
知道回顧
1.頻率分布直方圖與總體密度曲線。
2.總體密度曲線的形狀特征。

1.正態分布與正態曲線
產品尺寸的總體密度曲線具有“中間高，兩頭低”的特征，像這種類型的總體密度曲線，一般就是或近似的是以下函數有圖像：
f（x）=1/√（2πσ）e^{-（x-μ）2/2σ2}，x∈（-∞，+∞）
式中的實數μ、σ（σ﹥0）是參數，分別表示總體的平均數與標準差，其分布叫做正態分布，由參數μ、σ唯一確定。正態分布常記作N（μ、σ²）。它的圖像被稱為正態曲線。
2.正態分布的期望與方差
若ξ～N（μ、σ²），則ξ的期望與方差分布為：Eξ=μ，Dξ=σ²
f（x）=1/√（2πσ）e^{-（x-μ）2/2σ2}，x∈（-∞，+∞）
例1：給出下列兩個正態總體的函數表達式，請找出其均值μ和標準差σ。
（1）f（x）=1/√（2π）e^-x2/2，x∈（-∞，+∞）
（2）f（x）=1/2√（2π）e^{-（x-2）2/8}，x∈（-∞，+∞）
（3）f（x）=2/√（2π）e^{-2（x+1）2/}，x∈（-∞，+∞）
正態分布
當μ=0，σ=1時，正態總體稱為標準正態總體，相應的函數表示是f（x）=1/√（2π）e ^x2/2，x∈R，相應的曲線稱為標準正態曲線。
觀察以上三條正態曲線，歸納出正態曲線圖的性質：

①曲線在x軸的上方，與x軸不相交。
②曲線關于直線x=μ對稱，且在x=μ時位于最高點。
③當時x＜μ，曲線上升；當時x﹥μ，曲線下降。并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近。
④當μ一定時，曲線的形狀由σ確定。σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中。
例2.下列關于正態曲線性質的敘述正確的是（  ）
（1）曲線關于直線x=μ對稱，這個曲線只在x軸上方；
（2）曲線關于y軸對稱。因為曲線對應的正態密度函數是一個偶函數；
（3）曲線在x=μ時處于最高點，由這一點向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低；
（4）曲線的對稱軸由μ確定，曲線的形態由σ確定；
（5）σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；σ越小，曲線越“高”?？傮w分布越集中。
例3.把一個正態曲線a沿著橫軸方向向右移動2個單位、得到一個新的曲線b、下列說法不正確的是
（A）曲線b仍然是正態曲線；
（B）曲線a和曲線b的最高點的縱坐標相等；
（C）以曲線a為概率密度曲線的總體的方差比以曲線b為概率密度曲線的總體的方差大2；
（D）懭曲線a為概率密度曲線的總體的期望比以曲線b為概率密度曲線的總體的期望小2。
3σ原則
（1）正態分布在三個特殊區間的概率值
p（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826
p（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544
p（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974
例4、商場經營的某種包裝大米質量服從正態分布N(10、0.1²)。任選一袋這種大米，質量在（9.8、10.2）的概率是多少？
解：要求質量在（9.8、10.2）的概率，需要轉化為（μ-2σ，μ+2σ）的形式。
p（10-2×0.1＜X＜10+2×0.1）=0.9544
思考題：正態總體N（0.1）的概率密度函數是：
f（x）=1/√（2πσ）e^{-（x-μ）2/2σ2}
（1）求證：f（x）是偶函數；
（2）求f（x）的最大值；
（3）求f（x）的單調區間。