課程內容
《基本不等式√ab≤(a+b)/2（1）》
經“風車”抽象成左圖。在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形。令直角三角形兩條直角邊的長為a、b。
S△DGC=1/2ab，即4個直角三角形的面積和為2ab，正方形的面積為a2+b2。
由此得：一般地，對于任意實數a、b，我們有a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立。
一、不等式（1）a2+b2≥2ab
還有其他的方法證明嗎？
如果a＞0，b＞0，我們用√a，√b分別代替a、b，可得a+b≥2√ab
通常我們把上式寫作：√ab≤（a+b）/2（a＞0，b＞0）
二、基本不等式或不等式（2）
√ab≤（a+b）/2（a＞0，b＞0）或者（a+b）/2≥√ab（a＞0，b＞0）
當且僅當a=b時，（a+b）/2=√ab
1、兩個正數的算術平均數大于或等于它們的幾何平均數。
2、兩個正數的等差中項大于或等于它們正的等比中項。
探究：如何證明基本不等式√ab≤（a+b）/2（a＞0，b＞0）？
探究：法2與法3的證明有何不同？如何來使用？
在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a，BC=b，過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD，你能利用這個圖形得出基本不等式√ab≤（a+b）/2是幾何解釋嗎？
三、變形不等式與等價關系式
a、變形不等式
已知a，b為正數，證明下列結論
b、3個等價關系式
（1）a2+b2≥2ab ←→ ab≤（a2+b2）/2 （a，b∈R）
（2）√ab≤（a+b）/2 ←→ ab≤[（a+b）/2]2 （a，b∈R+）
（3）√[(a2+b2)/2]≥（a+b）/2 ←→ （a+b）2/2 （a，b∈R+）
其中當且僅當a=b時取等號。
四、基本不等式的簡單應用
例1：證明下列兩個不等式
（1）當a，b∈R+時，a/b+b/a≥2（當且僅當a=b時取“=”號）
（2）當a∈R+時，a+1/a≥2（當且僅當a=1時取“=”號）
例2：已知x，y是正數，求證：
（1）如果積xy是定值p，那么當且僅當x=y時，和x+y有最小值2√p。
（2）如果和x+y是定值s，那么當且僅當x=y時，積xy有最大值（1/4）s2。
課堂思考
某金店有一不準確的天平（臂長不等），顧客要買一串金項鏈，店主分別把項鏈放于左右兩盤各稱一次，然后把兩次稱得質量的算術平均數作為項鏈的質量，問這種稱法是否合理？
此內容正在抓緊時間編輯中，請耐心等待
楊老師
女，中教高級職稱
教學功底扎實，教學經驗豐富，對知識體系有深厚的了解。
